Question

如图，在△ABC中，AB＝AC＝10cm，BD⊥AC于D，且BD＝8cm．点M从点A出发，沿AC方向匀速运动，速度为2cm/s；同时直线PQ由点B出发沿BA方向匀速运动，速度为1cm/s，运动过程中始终保持PQ∥AC，直线PQ交AB于P，交BC于Q，连接PM，设运动时间为t（s）（0＜t＜5）．

（1）当四边形PQCM是平行四边形时，求t的值；
（2）当t为何值时，△PQM是等腰三角形？
（3）以PM为直径作⊙E，在点P、Q整个运动过程中，是否存在这样的时刻t，使得⊙E与BC相切？若存在，请求出运动时间t的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

（1） t＝  （2）t＝   （3）存在。当t＝或时，⊙E与BC相切

试题分析：（1）如图，t＝10―2t

解得 t＝
（2）①若PQ=PM，则

化简得，
此方程无解，舍去；
②若PQ=QM，则
，
解得t＝10（舍去），t＝
③若PM=QM，则

，解得t＝
∴当t＝或时，△PQM是等腰三角形．
（3）假设存在．当⊙E与BC相切时，

解得t＝，t＝．
∴当t＝或时，⊙E与BC相切．
本题涉及了几何图形的性质，该题较为复杂，是常考题，主要考查学生对平行四边形、等腰三角形、圆与直线关系的性质以及各种数量关系的分析掌握情况。