题目内容
【题目】已知二次函数图象的顶点在原点
，对称轴为
轴．一次函数
的图象与二次函数的图象交于
，
两点（在的左侧），且点坐标为
．平行于
轴的直线
过
点．
求一次函数与二次函数的解析式；
判断以线段
为直径的圆与直线的位置关系，并给出证明；
把二次函数的图象向右平移
个单位，再向下平移
个单位
，二次函数的图象与轴交于
，
两点，一次函数图象交轴于
点．当为何值时，过，，三点的圆的面积最小？最小面积是多少？
【答案】（1）
，
；（2）以线段
为直径的圆与直线
的位置关系是相切，证明详见解析；（3）当
为
时，过
，
，
三点的圆的面积最小，最小面积是
．
【解析】
（1）设二次函数的解析式是y=ax2，把A（-4，4）代入求出a代入一次函数求出k，即可得到答案；
（2）求出B、O的坐标，求出OA和O到直线y=-1的距离即可得出答案；
（3）作MN的垂直平分线，△FMN外接圆的圆心O在直线上，求出MN、DN，根据勾股定理求出O'F=O'N的圆心坐标的纵坐标Y，求出y取何值时r最小，即可求出答案.
解:（1）设二次函数的解析式是y=ax2（a≠0），
把A（-4，4）代入得：4=16a，
a=
，
∴y=x2，
把A（-4，4）代入y=kx+1得：4=-4k+1，
∴k=-，
∴y=-x+1，
∴一次函数与二次函数的解析式分别为，．
答：以线段为直径的圆与直线的位置关系是相切．
证明：
得：
，
，
∴
，
的中点
的坐标是
，
，
到直线
的距离是
，
∴以线段为直径的圆与直线的位置关系是相切．
解：作
的垂直平分线，
外接圆的圆心在直线上，
由于平移后的抛物线对称轴为
，对称轴交
轴于
，
，
平移后二次函数的解析式是
，即
，
当
时，
，
设
，
，在的右边，
则
，
，
∴
，
，
设圆心坐标
，根据
，
∴
，
，
，
当
时，半径有最小值
，圆面积最小为，
答：当为时，过，，三点的圆的面积最小，最小面积是．
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