题目内容
【题目】如图1，抛物线
与x轴交于点A（m﹣2，0）和B（2m+3，0）（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，连结BC．
（1）求m、n的值；
（2）如图2，点N为抛物线上的一动点，且位于直线BC上方，连接CN、BN．求△NBC面积的最大值；
（3）如图3，点M、P分别为线段BC和线段OB上的动点，连接PM、PC，是否存在这样的点P，使△PCM为等腰三角形，△PMB为直角三角形同时成立？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）m=1，n=﹣9；（2）
；（3）P（
，0）或（
，0）．
【解析】
试题分析：（1）利用抛物线的解析式确定对称轴为直线x=2，再利用对称性得到2﹣（m﹣2）=2m+3﹣2，解方程可得m的值，从而得到A（﹣1，0），B（5，0），然后把A点坐标代入
可求出n的值；
（2）作ND∥y轴交BC于D，如图2，利用抛物线解析式确定C（0，3），再利用待定系数法求出直线BC的解析式为y=﹣
x+3，设N（x，﹣
x2+
x+3），则D（x，﹣x+3），根据三角形面积公式，利用S△NBC=S△NDC+S△NDB可得S△BCN=﹣
x2+
x，然后利用二次函数的性质求解；
（3）先利用勾股定理计算出BC=
，再分类讨论：当∠PMB=90°，则∠PMC=90°，△PMC为等腰直角三角形，MP=MC，设PM=t，则CM=t，MB=﹣t，证明△BMP∽△BOC，利用相似比可求出BP的长，再计算OP后可得到P点坐标；当∠MPB=90°，则MP=MC，设PM=t，则CM=t，MB=﹣t，证明△BMP∽△BCO，利用相似比可求出BP的长，再计算OP后可得到P点坐标．
试题解析：（1）∵抛物线的解析式为=
，∴抛物线的对称轴为直线x=2，∵点A和点B为对称点，∴2﹣（m﹣2）=2m+3﹣2，解得m=1，∴A（﹣1，0），B（5，0），把A（﹣1，0）代入得9+n=0，解得n=﹣9；
（2）作ND∥y轴交BC于D，如图2，抛物线解析式为
=
，当x=0时，y=3，则C（0，3），设直线BC的解析式为y=kx+b，把B（5，0），C（0，3）代入得
，解得：
，∴直线BC的解析式为
，设N（x，），则D（x，
），∴ND=
=
，∴S△NBC=S△NDC+S△NDB=
5ND=
=
，当x=
时，△NBC面积最大，最大值为；
（3）存在．
∵B（5，0），C（0，3），∴BC=
=
；分两种情况讨论：
①当∠PMB=90°，则∠PMC=90°，△PMC为等腰直角三角形，MP=MC，设PM=t，则CM=t，MB=﹣t，∵∠MBP=∠OBC，∴△BMP∽△BOC，∴
，即
，解得t=
，BP=
，∴OP=OB﹣BP=5﹣=
，此时P点坐标为（，0）；
②当∠MPB=90°，则MP=MC，设PM=t，则CM=t，MB=﹣t，∵∠MBP=∠CBO，∴△BMP∽△BCO，∴
，即
，解得t=
，BP=
，∴OP=OB﹣BP=5﹣=
，此时P点坐标为（，0）；
综上所述，P点坐标为（，0）或（，0）．
