Question

20、如图，在四边形ABCD中，AD＜BC，对角线AC、BD相交于O点，AC=BD，∠ACB=∠DBC．
（1）求证：四边形ABCD为等腰梯形．
（2）若E为AB上一点，延长DC至F，使CF=BE，连接EF交BC于G，请判断G点是否为EF中点，并说明理由．

Answer 1

分析：（1）根据等角对等边可证明OB=OC，还可得出∠OAD=∠OCB，则AD∥BC，从而得出四边形ABCD为等腰梯形．
（2）过E作EH∥CD交BC于H．由梯形ABCD为等腰梯形，得∠EBH=∠DCB，则EB=EH，所以△EHG≌△FGC，即EG=FG（G为EF中点）．

解答：证明：（1）∵∠ACB=∠DBC，∴OB=OC
∵AC=BD，∴OA=OD，∴∠OAD=∠ODA
∵∠DOC=∠OAD+∠ODA=∠OBC+∠OCB
∴2∠OAD=2∠OCB，∴∠OAD=∠OCB
∴AD∥BC
∵AD＜BC∴四边形ABCD为梯形．（2分）
在△ABC和△DCB中：AC=BD，∠ACB=∠DBC，CB=BC．
∴△ABC≌△DCB∴AB=CD（3分）
∴四边形ABCD为等腰梯形．（4分）

（2）点G是EF中点理由：
过E作EH∥CD交BC于H．
∴∠EHB=∠DCB，∠EHG=∠GOF
∵梯形ABCD为等腰梯形
∴∠EBH=∠DCB，∴EB=EH（7分）
∵EB=CF，∴EH=CF
在△EHG和△FGC中：∠EHG=∠FCG∠EGH=∠FGCEH=CF
∴△EHG≌△FGC（8分）
∴EG=FG即G为EF中点．（9分）
注（2）问也可过F作FM∥AB交BC延长线于M，证△BEG≌△FMG也可．

点评：本题考查了等腰梯形的判定以及全等三角形的的判定和性质，是一道综合题母，难度较大．