Question

如图1，点C、B分别为抛物线C₁：y₁=x²+1，抛物线C₂：y₂=a₂x²+b₂x+c₂的顶点．分别过点B、C作x轴的平行线，交抛物线C₁、C₂于点A、D，且AB=BD．
（1）求点A的坐标：
（2）如图2，若将抛物线C₁：“y₁=x²+1”改为抛物线“y₁=2x²+b₁x+c₁”．其他条件不变，求CD的长和a₂的值；
（3）如图2，若将抛物线C₁：“y₁=x²+1”改为抛物线“y₁=4x²+b₁x+c₁”，其他条件不变，求b₁+b₂的值______（直接写结果）．

Answer 1

（1）如图，连接AC、BC，设直线AB交y轴于点E，
∵AB∥x轴，CD∥x轴，C、B为抛物线C₁、C₂的顶点，
∴AC=BC，BC=BD，
∵AB=BD，
∴AC=BC=AB，
∴△ABC是等边三角形，
∴∠ACE=30°，
设AE=m，
则CE=

3

AE=

3

m，
∵y₁=x²+1，
∴点C的坐标为（0，1），
∴点A的坐标为（-m，1+

3

m），
∵点A在抛物线C₁上，
∴（-m）²+1=1+

3

m，
整理得m²-

3

m=0，
解得m₁=

3

，m₂=0（舍去），
∴点A的坐标为（-

3

，4）；


（2）如图2，连接AC、BC，过点C作CE⊥AB于点E，
设抛物线y₁=2x²+b₁x+c₁=2（x-h₁）²+k₁，
∴点C的坐标为（h₁，k₁），
设AE=m，
∴CE=

3

m，
∴点A的坐标为（h₁-m，k₁+

3

m），
∵点A在抛物线y₁=2（x-h₁）²+k₁上，
∴2（h₁-m-h₁）²+k₁=k₁+

3

m，
整理得，2m²=

3

m，
解得m₁=

3

2

，m₂=0（舍去），
由（1）同理可得，CD=BD=BC=AB，
∵AB=2AE=

3

，
∴CD=

3

，
即CD的长为

3

，
根据题意得，CE=

3

2

BC=

3

2

×

3

=

3

2

，
∴点B的坐标为（h₁+

3

2

，k₁+

3

2

），
又∵点B是抛物线C₂的顶点，
∴y₂=a₂（x-h₁-

3

2

）²+k₁+

3

2

，
∵抛物线C₂过点C（h₁，k₁），
∴a₂（h₁-h₁-

3

2

）²+k₁+

3

2

=k₁，
整理得

3

4

a₂=-

3

2

，
解得a₂=-2，
即a₂的值为-2；

（3）根据（2）的结论，a₂=-a₁，

1

2

CD=-

b2

2a2

-（-

b1

2a1

）=

b2

2a1

+

b1

2a1

=

b1+b2

2a1

，
根据（1）（2）的求解，CD=2×

3

a1

，
∴b₁+b₂=2

3

．