题目内容
在直角坐标系中,已知点P是反比例函数y=
(x>0)图象上一个动点,以P为圆心的动⊙P始终与y轴相切,设切点为A.
(1)如图1,动⊙P与x轴相切,设与x轴的切点为K,求此时⊙P的面积.
(2)如图2,动⊙P与x轴相交,设交点为B、C.当四边形ABCP是菱形时,求此时⊙P的面积.
2
| ||
x |
(1)如图1,动⊙P与x轴相切,设与x轴的切点为K,求此时⊙P的面积.
(2)如图2,动⊙P与x轴相交,设交点为B、C.当四边形ABCP是菱形时,求此时⊙P的面积.
(1)∵⊙P分别与两坐标轴相切
∴PA⊥OA,PK⊥OK
∴∠PAO=∠OKP=90°,而∠AOK=90°
∴四边形OKPA是矩形,而PA=PK
∴四边形OKPA是正方形.
∴PA=PK=r,
∴r2=2
,
∴⊙P的面积=r2π=2
π;
(2)连接PB,设点P的横坐标为x,
则其纵坐标为
.
过点P作PG⊥BC于G,
∵四边形ABCP为菱形
∴BC=PC=PA=AB,而 PA=PB=PC,
∴△PBC是等边三角形,
在Rt△PBG中,∠PBG=60°,PB=PA=x,PG=
.
sin60°=
,
即
=
解得:x=±2(负值舍去)
∴PA=BC=r=2,
∴⊙P的面积=4π.
∴PA⊥OA,PK⊥OK
∴∠PAO=∠OKP=90°,而∠AOK=90°
∴四边形OKPA是矩形,而PA=PK
∴四边形OKPA是正方形.
∴PA=PK=r,
∴r2=2
3 |
∴⊙P的面积=r2π=2
3 |
(2)连接PB,设点P的横坐标为x,
则其纵坐标为
2
| ||
x |
过点P作PG⊥BC于G,
∵四边形ABCP为菱形
∴BC=PC=PA=AB,而 PA=PB=PC,
∴△PBC是等边三角形,
在Rt△PBG中,∠PBG=60°,PB=PA=x,PG=
2
| ||
x |
sin60°=
PG |
PB |
即
| ||
2 |
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x |
解得:x=±2(负值舍去)
∴PA=BC=r=2,
∴⊙P的面积=4π.
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