Question

【题目】如图所示，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠A=90°，AB=12，BC=21，AD=16．动点P从点B出发，沿射线BC的方向以每秒2个单位长的速度运动，动点Q同时从点A出发，在线段AD上以每秒1个单位长的速度向点D运动，当其中一个动点到达端点时另一个动点也随之停止运动．设运动的时间为t（秒）．
（1）设△DPQ的面积为S，求S与t之间的函数关系式；
（2）当t为何值时，四边形PCDQ是平行四边形？
（3）分别求出当t为何值时，①PD=PQ，②DQ=PQ．

Answer 1

【答案】（1）解：直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠A=90°，BC=21，AB=12，AD=16，
依题意AQ=t，BP=2t，则DQ=16﹣t，PC=21﹣2t，
过点P作PE⊥AD于E，
则四边形ABPE是矩形，PE=AB=12，
∴S△DPQ=DQAB=（16﹣t）×12=﹣6t+96．
（2）当四边形PCDQ是平行四边形时，PC=DQ，
∴21﹣2t=16﹣t解得：t=5，
∴当t=5时，四边形PCDQ是平行四边形．
（3）∵AE=BP=2t，PE=AB=12，
①当PD=PQ时，QE=ED=QD，
∵DE=16﹣2t，
∴AE=BP=AQ+QE，即2t=t+16﹣2t，
解得：t= ，
∴当t=时，PD=PQ
②当DQ=PQ时，DQ2=PQ2
∴t2+122=（16﹣t）2解得：t=
∴当t=时，DQ=PQ

【解析】（1）S△QDP=DQAB，由题意知：AQ=t，DQ=AD﹣AQ=16﹣t，将DQ和AB的长代入，可求出S与t之间的函数关系式；
（2）当四边形PCDQ为平行四边形时，PC=DQ，即16﹣t=21﹣2t，可将t求出；
（3）当PD=PQ时，可得：AD=3t，从而可将t求出；当DQ=PQ时，根据DQ2=PQ2即：t2+122=（16﹣t）2可将t求出．