Question

【题目】如图，E，F分别是正方形ABCD的边CD、AD上的点．且CE=DF，AE、BF相交于点O，下列结论：①AE=BF，②AE⊥BF，③AO=OE，④S△AOB=S四边形DEOF中，错误的有 ． （只填序号）

Answer 1

【答案】③
【解析】解：在正方形ABCD中，∠BAF=∠D=90°，AB=AD=CD，∵CE=DF，
∴AD﹣DF=CD﹣CE，
即AF=DE，
在△ABF和△DAE中， ，
∴△ABF≌△DAE（SAS），
∴AE=BF，故①正确；
∠ABF=∠DAE，
∵∠DAE+∠BAO=90°，
∴∠ABF+∠BAO=90°，
在△ABO中，∠AOB=180°﹣（∠ABF+∠BAO）=180°﹣90°=90°，
∴AE⊥BF，故②正确；
假设AO=OE，
∵AE⊥BF（已证），
∴AB=BE（线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等），
∵在Rt△BCE中，BE＞BC，
∴AB＞BC，这与正方形的边长AB=BC相矛盾，
所以，假设不成立，AO≠OE，故③错误；
∵△ABF≌△DAE，
∴S△ABF=S△DAE ，
∴S△ABF﹣S△AOF=S△DAE﹣S△AOF ，
即S△AOB=S四边形DEOF ， 故④正确；
综上所述，错误的有③．
所以答案是：③．
【考点精析】利用正方形的性质对题目进行判断即可得到答案，需要熟知正方形四个角都是直角，四条边都相等；正方形的两条对角线相等，并且互相垂直平分，每条对角线平分一组对角；正方形的一条对角线把正方形分成两个全等的等腰直角三角形；正方形的对角线与边的夹角是45o；正方形的两条对角线把这个正方形分成四个全等的等腰直角三角形．