题目内容
【题目】课外兴趣小组活动时,老师提出了如下问题:
(1)如图1,中,若
,
,求
边上的中线
的取值范围.小明在组内经过合作交流,得到了如下的解决方法:将
绕点
逆时针旋转
得到
,把
、
、
集中在
中,利用三角形的三边关系可得
,则
;
(2)问题解决:受到(1)的启发,请你证明下面命题:如图2,在中,
是
边上的中点,
,
交
于点
,
交
于点
,连接
.
①求证:;
②如图3,若,探索线段
、
、
之间的等量关系,并加以证明.
【答案】(2)①见解析;②
【解析】
(2)①可按阅读理解中的方法构造全等,把CF和BE转移到一个三角形中求解;
②由(1)中的全等得到∠C=∠CBG.∵∠ABC+∠C=90°,∴∠EBG=90°,可得三边之间存在勾股定理关系.
解:(2)①把△CFD绕点D逆时针旋转180°得到△BGD,
∴CF=BG,DF=DG,
∵DE⊥DF,
∴EF=EG.
在△BEG中,BE+BG>EG,即BE+CF>EF.
②若∠A=90°,则∠EBC+∠FCB=90°,
由(1)知∠FCD=∠DBG,EF=EG,
∴∠EBC+∠DBG=90°,即∠EBG=90°,
∴在Rt△EBG中,
∴.
、
、
之间的等量关系为

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