题目内容
【题目】（1）小My同学在网络直播课中学习了勾股定理，他想把这一知识应用在等边三角形中：边长为a的等边三角形面积是 （用含a的代数式表示）；
（2）小My同学进一步思考：是否可以将正方形剪拼成一个等边三角形（不重叠、无缝隙）？
①如果将一个边长为2的正方形纸片剪拼等边三角形，那么该三角形边长的平方是 ；
②小My同学按下图切割方法将正方形ABCD剪拼成一个等边三角形EFG：M、N分别为AB、CD边上的中点，P、Q是边BC、AD上两点，G为MQ上一点，且∠MGP＝∠PGN＝∠NGQ＝60°．
请补全图形，画出拼成正三角形的各部分分割线，并标号；
③正方形ABCD的边长为2，设BP＝x，则x2＝ ．
【答案】（1）
a2；（2）①
；②详见解析；③
﹣1．
【解析】
（1）如图1，过A作AD⊥BC于D，根据等边三角形的性质得到BD＝CD＝
BC＝a，由勾股定理得到AD＝
，于是得到S△ABC＝BCAD＝
；
（2）①根据三角形的面积公式即可得到结论；
②补全图形如图2所示；
③由题意知，PG＝PE，GN＝NF，推出PN是△GEF的中位线，得到PN＝EF，根据勾股定理即可得到结论．
解：（1）如图，过A作AD⊥BC于D，
∵△ABC是等边三角形，
∴BD＝CD＝BC＝a，
∴AD＝
，
∴S△ABC＝BCAD＝a2；
（2）①∵边长为2的正方形的面积＝4，
∴剪拼成的等边三角形的面积＝4，
∴a2＝4，
∴a2＝，
即该三角形边长的平方是；
②补全图形如图2所示；
③由题意知，PG＝PE，GN＝NF，
∴PN是△GEF的中位线，
∴PN＝EF，
∵N为AB边上的中点，
∴BN＝AB＝1，
∵边长为2的正方形的面积＝4，
∴剪拼成的等边三角形的面积＝4，
∴a2＝4，
∴a2＝，
即△GEF边长的平方是，
∴EF＝
，
∴PN＝
，
∵PN2＝BN2+BP2，
∴
＝1+x2，
∴x2＝﹣1；
故答案为：（1）；（2）①；③
．
