题目内容
【题目】已知: 和矩形
如图①摆放(点
与点
重合),点
,
在同一直线上,
,
,
.如图②,
从图①的位置出发,沿
方向匀速运动,速度为1
,
与
交于点
,与BD交于点K;同时,点
从点
出发,沿
方向匀速运动,速度为1
.过点
作
,垂足为
,交
于点
,连接
,当点
停止运动时,
也停止运动.设运动事件为
.解答下列问题:
(1)当为何值时, ?
(2)在运动过程中,是否存在某一时刻,使?若存在,求出
的值;若不存在,请说明理由;
(3)在运动过程中,
①当t为 秒时,以PQ为直径的圆与PE相切,
②当t为 秒时,以PQ的中点为圆心,以 cm为半径的圆与BD和BC同时相切.
【答案】(1);(2)t=2;(3)①t=
,②t=4,r=2 .
【解析】试题分析:(1)如图1中,当PQ∥BD时, ,可得
,解方程即可;
(2)假设存在,如图2中,当0<t<6时,S五边形AFPQM==S△ABF+S矩形ABCD-S△CPQ-S△MDQ,由此计算出五边形AFPQM的面积.根据题意列出方程即可解决问题;
(3)①当以PQ为直径的圆与PE相切时,PQ⊥PE,可证得△PFE∽△QCP,得到,然后代入含t的式子,列出方程即可求出t的值;
②设PQ的中点为O,连接BO并延长,交CD与点J,过O作OI⊥BC,过J作JK⊥BD.由过点O的圆与BC、BD都相切可证得BJ平分∠DBC,根据角平分线的性质可得JC=JK,BK=BC=8,DK=BD-BK=2,JC=JK=x,在Rt△JKD中,由勾股定理求出JC的值,由O是PQ的中点,根据三角形中位线的性质用t表示OI,PI,进而表示出BI,然后由△BOI∽△BJC得,代入数据即可求出t的值,进而求出圆的半径.
试题解析:
解:(1)若PQ∥BD,则△CPQ∽△CBD,
∴,即
,
解得:t=;
(2)由∠MQD+∠CDB=∠CBD+∠CDB=90°,
可得∠MQD=∠CBD.
又∠MDQ=∠C=90°,
∴△MDQ∽△DCB,
∴,
即,
∴MD=,
则S五边形AFPQM==S△ABF+S矩形ABCD-S△CPQ-S△MDQ
=AB×BF+AB×BC-
PC×CQ-
MD×DQ
=×6×(8-t)+6×8-
(8-t)×t-
×
×(6-t)
=(0<t<6).
假使存在t,使S五边形AFPQM:S矩形ABCD=9:8,
则S五边形AFPQM=S矩形ABCD=54,
即=54,
整理得t2-20t+36=0,
解得t1=2,t2=18>6(舍去),
答:当t=2,S五边形AFPQM:S矩形ABCD=9:8;
(3)①当以PQ为直径的圆与PE相切时,PQ⊥PE,
∴∠EPF+∠QPC=90°,
又∵∠E+∠EPF=90°,
∴∠E=∠QPC,
∵∠EFP=∠C=90°,
∴△PFE∽△QCP,
∴,
∴,
解得t=,
即t=秒时,以PQ为直径的圆与PE相切;
②设PQ的中点为O,连接BO并延长,交CD与点J,过O作OI⊥BC,过J作JK⊥BD,
∵过点O的圆与BC、BD都相切,
∴BJ平分∠DBC,
∵∠C=90°,JK⊥BD,
∴JC=JK,BK=BC=8,
DK=BD-BK=10-8=2,
设JC=JK=x,则JD=6-x,
在Rt△JKD中,由勾股定理得:x2+22=(6-x)2,
解得x=,
CP=BC-
∵O是PQ的中点,OI⊥BC,
∴OI=CQ=
t,PI=CI=
(8-t)=4-
t,
∴BI=BP+PI=t+4-t=4+
t,
∵OI⊥BC,∠C=90°,
∴OI∥JC,
∴△BOI∽△BJC,
∴,
即,
解得t=4,
此时圆的半径为OI=t=2.
故答案为:4,2.
