题目内容

【题目】已知: 和矩形如图①摆放(点与点重合),点 在同一直线上, .如图②,从图①的位置出发,沿方向匀速运动,速度为1 交于点,与BD交于点K;同时,点从点出发,沿方向匀速运动,速度为1 .过点,垂足为,交于点,连接,当点停止运动时, 也停止运动.设运动事件为.解答下列问题:

1)当为何值时,

2)在运动过程中,是否存在某一时刻,使?若存在,求出的值;若不存在,请说明理由

3)在运动过程中,

①当t 秒时,以PQ为直径的圆与PE相切,

②当t 秒时,以PQ的中点为圆心,以 cm为半径的圆与BDBC同时相切.

【答案】1;(2t=2(3)t=t=4r=2 .

【解析】试题分析:(1)如图1中,当PQBD时, ,可得,解方程即可;

(2)假设存在,如图2中,当0<t<6时,S五边形AFPQMSABFS矩形ABCDSCPQSMDQ,由此计算出五边形AFPQM的面积.根据题意列出方程即可解决问题;

3①当以PQ为直径的圆与PE相切时,PQPE,可证得PFEQCP,得到,然后代入含t的式子,列出方程即可求出t的值;

②设PQ的中点为O,连接BO并延长,交CD与点J,过OOIBC,过JJKBD由过点O的圆与BCBD都相切可证得BJ平分∠DBC根据角平分线的性质可得JCJKBKBC8DKBDBK2JCJKx,在RtJKD中,由勾股定理求出JC的值,由OPQ的中点,根据三角形中位线的性质用t表示OIPI进而表示出BI,然后由△BOI∽△BJC代入数据即可求出t的值,进而求出圆的半径.

试题解析:

解:(1)若PQ∥BDCPQ∽△CBD

,即

解得:t

2)由∠MQD+∠CDB=∠CBD+∠CDB90°

可得∠MQD=∠CBD.

又∠MDQ=∠C90°

∴△MDQ∽△DCB

MD

S五边形AFPQMSABFS矩形ABCDSCPQSMDQ

AB×BFAB×BCPC×CQMD×DQ

×6×(8t)6×8 (8t)×t××(6t)

0t6).

假使存在t,使S五边形AFPQM:S矩形ABCD=9:8,

S五边形AFPQMS矩形ABCD54

54

整理得t220t360

解得t12t2186(舍去)

答:当t2S五边形AFPQM:S矩形ABCD=9:8;

(3)当以PQ为直径的圆与PE相切时,PQPE

∴∠EPFQPC90°

又∵∠EEPF90°

∴∠EQPC

∵∠EFPC90°

PFEQCP

解得t

t秒时,以PQ为直径的圆与PE相切;

PQ的中点为O,连接BO并延长,交CD与点J,过OOIBC,过JJKBD

∵过点O的圆与BCBD都相切,

BJ平分∠DBC

∵∠C90°JKBD

JCJKBKBC8

DKBDBK1082

JCJKx,则JD6x

RtJKD中,由勾股定理得:x222(6x)2

解得x

CPBCBP8t

OPQ的中点,OIBC

OICQtPICI (8t)4t

BIBPPIt4t4t

OIBCC90°

OIJC

∴△BOI∽△BJC

解得t4

此时圆的半径为OIt2

故答案为:42

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