题目内容
如图,在平行四边形ABCD中,AD∥x轴,AD=10,原点O是对角线AC的中点,顶点A的坐标为(-4,4),反比例函数y=
(k≠0)在第一象限的图象过四边形ABCD的顶点D.
(1)求直线AC和反比例函数的解析式;
(2)平行四边形ABCD的顶点B是否在反比例函数的图象上?为什么?
(3)P、Q两点分别在反比例函数图象的两支上,且AQCP是菱形,求P、Q的坐标.
k |
x |
(1)求直线AC和反比例函数的解析式;
(2)平行四边形ABCD的顶点B是否在反比例函数的图象上?为什么?
(3)P、Q两点分别在反比例函数图象的两支上,且AQCP是菱形,求P、Q的坐标.
(1)∵直线AC过原点,
∴设直线AC的解析式为:y=ax,
∵直线AC过点A(-4,4),
∴-4a=4,
解得:a=-1,
故直线AC的解析式为:y=-x;
∵在平行四边形ABCD中,AD∥x轴,AD=10,顶点A的坐标为(-4,4),
∴AE=4,DE=AD-AE=10-4=6,
∴点D的坐标为(6,4),
∴4=
,
解得:k=24,
故反比例函数的解析式为:y=
;
(2)平行四边形ABCD的顶点B在反比例函数的图象上.
∵四边形ABCD是平行四边形,且原点O是对角线AC的中点,
∴B与D关于原点对称,
∴点B的坐标为(-6,-4),
∵当x-6时,y=
=-4,
∴平行四边形ABCD的顶点B在反比例函数的图象上;
(3)∵四边形AQCP是菱形,
∴AC⊥PQ,
∵直线AC的解析式为y=-x,
∴直线PQ的解析式为:y=x,
设P点的坐标为(a,a)且a>0,则点Q的坐标为(-a,-a),
∵P、Q两点分别在反比例函数图象的两支上,
∴a=
,
解得:a=2
,
故P的坐标为:(2
,2
),Q的坐标为(-2
,-2
).
∴设直线AC的解析式为:y=ax,
∵直线AC过点A(-4,4),
∴-4a=4,
解得:a=-1,
故直线AC的解析式为:y=-x;
∵在平行四边形ABCD中,AD∥x轴,AD=10,顶点A的坐标为(-4,4),
∴AE=4,DE=AD-AE=10-4=6,
∴点D的坐标为(6,4),
∴4=
k |
6 |
解得:k=24,
故反比例函数的解析式为:y=
24 |
x |
(2)平行四边形ABCD的顶点B在反比例函数的图象上.
∵四边形ABCD是平行四边形,且原点O是对角线AC的中点,
∴B与D关于原点对称,
∴点B的坐标为(-6,-4),
∵当x-6时,y=
24 |
-6 |
∴平行四边形ABCD的顶点B在反比例函数的图象上;
(3)∵四边形AQCP是菱形,
∴AC⊥PQ,
∵直线AC的解析式为y=-x,
∴直线PQ的解析式为:y=x,
设P点的坐标为(a,a)且a>0,则点Q的坐标为(-a,-a),
∵P、Q两点分别在反比例函数图象的两支上,
∴a=
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a |
解得:a=2
6 |
故P的坐标为:(2
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