题目内容
(本题满分10分)如图，直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠A=90°，
，
交AB于E，DF平分∠EDC交BC于F，连结
EF．
（1）证明：
；
（2）当
时，求EF的长．
，交AB于E，DF平分∠EDC交BC于F，连结EF．（1）证明：
；（2）当
时，求EF的长．解：（1）过D作DG⊥BC于G．
由已知可得，四边形ABGD为正方形．…………１分
∵DE⊥DC，
∴∠ADE+∠EDG=90°=∠GDC+∠EDG，
∴∠ADE=∠GDC ． ………………………3分
又∵∠A=∠DGC，且AD=GD，
∴△ADE≌△GDC ．
∴DE=DC，且AE=GC． ……………………4分
在△EDF和△CDF中，
∠EDF=∠CDF，DE=DC，DF为公共边，
∴△EDF≌△CDF．
∴EF=CF． ……………………………………………6分
（2）∵tan∠ADE=
=，∴
． …………
……………7分
设
，则
，BE=6－2="4."
由勾股定理，得
．
解之，得
，即
． ……………………………10分
由已知可得，四边形ABGD为正方形．…………１分
∵DE⊥DC，
∴∠ADE+∠EDG=90°=∠GDC+∠EDG，
∴∠ADE=∠GDC ． ………………………3分
又∵∠A=∠DGC，且AD=GD，
∴△ADE≌△GDC ．
∴DE=DC，且AE=GC． ……………………4分
在△EDF和△CDF中，
∠EDF=∠CDF，DE=DC，DF为公共边，
∴△EDF≌△CDF．
∴EF=CF． ……………………………………………6分
（2）∵tan∠ADE=
=，∴． ………………………7分设
，则，BE=6－2="4." 由勾股定理，得
． 解之，得
，即． ……………………………10分略
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