题目内容
【题目】如图1,在平面直角坐标系xOy中,直线l经过点O,点A(0,6),经过点A、O、B三点的⊙P与直线l相交于点C(7,7),且CA=CB.
⑴ 求点B的坐标;
⑵ 如图2,将△AOB绕点B按顺时针方向旋转90°得到△A′O′B.判断直线与⊙P的位置关系,并说明理由.
【答案】⑴点B(8,0) ⑵ 直线A′O′与⊙P相切
【解析】试题分析:(1)过点C作CE⊥x轴于点E,过点C作CF⊥y轴于点F.
可以由已知坐标求出AF长,Rt△ACF≌Rt△BCE,可以求出BE=AF,得到OB长.
(2) AB的中点即为圆心P,取OB的中点R,连接RP并延长交A′O′的延长线于点Q,利用旋转条件,RP⊥A′O′.,最终得到四边形RBO′Q是矩形, 圆心P到直线A′O′的距离,和半径相等,所以可以得到直线A′O′与⊙P相切.
⑴ 过点C作CE⊥x轴于点E,过点C作CF⊥y轴于点F.
∴ ∠CFO=∠CEO=∠CEB=90°,∵ ∠AOB=90°,
∴ 四边形FOEC是矩形 ,
∴ ∠FCE=90° ,
∴ ∠ACE+∠ACF=90°,
由点C(7,7)得:CF=CE=7,
∴ ∠AOC=∠BOC=45°,OF=CE=7,OE=CF=7,
∴ ∠CBA=∠COA=45°,∠CAB=∠COB=45°,
∴ ∠CAB=∠CBA , ∴ AC=BC.
∵ 点A(0,6) ,∴ OA=6,
∴ AF=OF-OA=7-6=1 .
∵ ∠AOB=90° , ∴ AB为⊙P的直径 ,
∴ ∠ACB=90°,
∴ ∠ACE+∠BCE=90°,
∴ ∠ACF=∠BCE .
在Rt△ACF和Rt△BCE中,
,
∴ Rt△ACF≌Rt△BCE,
∴ BE=AF=1,
∴ OB=OE+EB=7+1=8,
∴ 点B(8,0) .
⑵ 直线A′O′与⊙P相切.
如图2,由AB是⊙P的直径可知:AB的中点即为圆心P,
取OB的中点R,连接RP并延长交A′O′的延长线于点Q,,
∴ PR∥OA,PR==3 ,
∵ ∠AOB=90° ∴ ∠QRB=90°,
∵ △A′O′B′由△AOB绕点B按顺时针方向旋转90°得到,
∴ ∠OBO′=90°,BO′=BO=8,
∵ ∠AO′B=90° ∴ ∠BO′Q=90° 即:RP⊥A′O′.
∴ 四边形RBO′Q是矩形,
∴ ∠O′QR=90°,RQ=BO′=8 ,
∴ PQ=RQ-PR=8-3=5,
∵ ⊙P的直径AB=10,
∴ 圆心P到直线A′O′的距离等于半径长5,
∴直线A′O′与⊙P相切.
【题目】据宜昌市统计局2013年底统计,中心城区人均住房建筑面积约为30平方米,为把宜昌市建设成特大城市,中心城区住房建筑面积和人口数都迅速增加.2014年中心城区住房建筑面积比2013年中心城区住房建筑面积增长的百分数是a,2015年中心城区住房建筑面积比2013年中心城区住房建筑面积增长的百分数是2a.从2014年开始,中心城区人口数在2013年180万的基础上每年递增m(m>0)万人,这样2015年中心城区的人口数比2014年中心城区人口数的1.5倍少80万人,已知2015年中心城区的人均住房建筑面积与2014年持平.
(1)根据题意填表(用含a,m的式子表示各个数量);
年份 | 中心城区人口数 | 中心城区人均住房建筑面积(单位:平方米) | 中心城区住房建筑面积(单位:万平凡米) |
2013年 | 180 | 30 | 5400 |
2014年 |
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2015年 |
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(2)求题目中的a和m.
【题目】在一个不透明的口袋里装有若干个相同的红球,为了估计袋中红球的数量,某学习小组做了摸球实验,他们将30个与红球大小形状完全相同的白球装入袋中,搅匀后从中随机摸出一个球并记下颜色,再把它放回袋中,不断重复.下表是几次活动汇总后统计的数据:
摸球的次数s | 150 | 200 | 500 | 900 | 1000 | 1200 |
摸到白球的频数n | 51 | 64 | 156 | 275 | 303 | 361 |
摸到白球的频率 | 0.34 | 0.32 | 0.312 | 0.306 | 0303 | 0.301 |
(1)请估计:当次数s很大时,摸到白球的频率将会接近 ;假如你去摸一次,你摸到白球的概率是 (精确到0.1).
(2)试估算口袋中红球有多少只?
(3)解决了上面的问题后请你从统计与概率方面谈一条启示.