题目内容
【题目】如图,已知中,AB=AC=10 cm,BC=8cm,点D是AB的中点,点E在AC上,AE=6 cm,点P在BC上以1 cm/s速度由B点向C点运动,点Q在AC上由A点向E点运动,两点同时出发,当其中一点到达终点时,两点同时停止运动.
(1)在运动过程中,若点Q速度为2 cm/s,则能否形成以为顶角的等腰三角形?若可以,请求出运动时间t, 若不可以,请说明理由;
(2)当点Q速度为多少时,能够使 与全等?
【答案】(1)t=2s时,△QPC能形成以为顶角的等腰三角形;(2)当点Q速度为cm/s时,能够使ΔBPD与ΔQCP全等.
【解析】
(1)设ts时△QPC是以为顶角的等腰三角形,则可知PB=tcm,PC=(8-t)cm,CQ=(10-2t)cm,由PC =CQ即可解决问题;
(2)根据全等三角形应满足的条件探求边之间的关系,再根据路程=速度×时间,先求得点P、Q运动的时间,再求得点Q的运动速度.
解:(1)设ts时△QPC是以为顶角的等腰三角形,则PB=tcm,PC=(8-t)cm,CQ=(10-2t)cm,
∵△QPC是以为顶角的等腰三角形
∴PC=CQ,即8-t=10-2t,
解得:t=2s,
∵其中一点到达终点时,两点同时停止运动,8÷1=8s,6÷2=3s,
∴点P、Q的运动时间为3s,t=2s符合题意,
∴t=2s时,△QPC能形成以为顶角的等腰三角形;
(2)∵AB=AC,
∴∠B=∠C,
设点P、Q的运动时间为t,则BP=t cm,PC=(8-t)cm,
∵AB=10cm,BC=8cm,点D为AB的中点,
∴BD=×10=5cm,
①BD、PC是对应边时,∵△BPD与△CQP全等,
∴BD=PC,BP=CQ,
∴5=8-t,
解得t=3,
∴BP=CQ =3cm,
∴AQ=10-3=7cm,
∵点Q在AC上由A点向E点运动,AE=6 cm,
∴AQ不可能等于7cm,即不存在BD、PC是对应边时,△BPD与△CQP全等
②BD与CQ是对应边时,∵△BPD与△CPQ全等,
∴BD=CQ=5cm,BP=PC,AQ=10-5=5cm,
∴t=8-t,
解得t=4,
∴点Q速度为5÷4=cm/s.
即当点Q速度为cm/s时,能够使ΔBPD与ΔQCP全等.