题目内容
如图1，正方形ABCD的顶点A，B的坐标分别为（0，10），（8，4），顶点C，D在第一象限．点P从点A出发，沿正方形按逆时针方向运动，同时，点Q从点E（4，0）出发，沿x轴正方向以相同速度运动．当点P到达点C时，P，Q两点同时停止运动．设运动时间为t（s）．（1）求正方形ABCD的边长；
（2）当点P在AB边上运动时，△OPQ的面积S（平方单位）与时间t（s）之间的函数图象为抛物线的一部分（如图2所示），求P，Q两点的运动速度；
（3）求（2）中面积S（平方单位）与时间t（s）的函数解析式及面积S取最大值时点P的坐标；
（4）若点P，Q保持（2）中的速度不变，则点P沿着AB边运动时，∠OPQ的大小随着时间t的增大而增大；沿着BC边运动时，∠OPQ的大小随着时间t的增大而减小．当点P沿着这两边运动时，能使∠OPQ=90°吗？若能，直接写出这样的点P的个数；若不能，直接写不能．
分析：（1）本题要依靠辅助线的帮助．做BF垂直y轴，求出FB、FA、AB的值；
（2）由2可知，点P从点A运动到点B用了10s，求出AB的值；
（3）本题有多种解法．作PG⊥y轴于G，证明△AGP∽△AFB，求出线段比．然后再求出S的面积以及抛物线的对称轴，最后求出t的最大值．
（2）由2可知，点P从点A运动到点B用了10s，求出AB的值；
（3）本题有多种解法．作PG⊥y轴于G，证明△AGP∽△AFB，求出线段比．然后再求出S的面积以及抛物线的对称轴，最后求出t的最大值．
解答：解：（1）作BF⊥y轴于F．
∵A（0，10），B（8，4）
∴FB=8，FA=6，
∴AB=10；（2分）
（2）由图2可知，点P从点A运动到点B用了10s（1分）
∵AB=10
∴P、Q两点的运动速度均为每秒一个单位长度；（1分）
（3）解法1：作PG⊥y轴于G，则PG∥BF．
∴△AGP∽△AFB
∴
=
，即
=
．
∴GA=
t．
∴OG=10-
t．（2分）
又∵OQ=4+t
∴S=
•OQ•OG=
(t+4)(10-
t)（2分）
即S=-
t2+
t+20
∵-
=-
=
，且
在0≤t≤10内，
∴当t=
时，S有最大值．
此时GP=
t=
，OG=10-
t=
，
∴P(
，
)（2分）
解法2：由图2，可设S=at2+bt+20，
∵抛物线过（10，28）
∴可再取一个点，当t=5时，计算得S=
，
∴抛物线过（5，
），代入解析式，可求得a，b．评分参照解法1；
（4）这样的点P有2个．（2分）
∵A（0，10），B（8，4）
∴FB=8，FA=6，
∴AB=10；（2分）
（2）由图2可知，点P从点A运动到点B用了10s（1分）
∵AB=10
∴P、Q两点的运动速度均为每秒一个单位长度；（1分）
（3）解法1：作PG⊥y轴于G，则PG∥BF．
∴△AGP∽△AFB
∴
| GA |
| FA |
| AP |
| AB |
| GA |
| 6 |
| t |
| 10 |
∴GA=
| 3 |
| 5 |
∴OG=10-
| 3 |
| 5 |
又∵OQ=4+t
∴S=
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 2 |
| 3 |
| 5 |
即S=-
| 3 |
| 10 |
| 19 |
| 5 |
∵-
| b |
| 2a |
| ||
2×(-
|
| 19 |
| 3 |
| 19 |
| 3 |
∴当t=
| 19 |
| 3 |
此时GP=
| 4 |
| 5 |
| 76 |
| 15 |
| 3 |
| 5 |
| 31 |
| 5 |
∴P(
| 76 |
| 15 |
| 31 |
| 5 |
解法2：由图2，可设S=at2+bt+20，
∵抛物线过（10，28）
∴可再取一个点，当t=5时，计算得S=
| 63 |
| 2 |
∴抛物线过（5，
| 63 |
| 2 |
（4）这样的点P有2个．（2分）
点评：本题考查的是二次函数的图象以及二次函数解析式的灵活运用，考生要学会看二次函数图以及把二次函数的两点式，顶点式的公式熟记于心．
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