Question

【题目】如图，在中，，为边上的中线，点在上，以点为圆心，长为半径画弧，交的延长线于点，点在上，且，连接．

（1）依题意补全图形；

（2）求证：；

（3）若平分，则与满足的等量关系为 ．

Answer 1

【答案】（1）见详解；（2）证明见详解；（3）∠BAE+∠ABE=60°．

【解析】

（1）根据相关作图技巧，依题意补全图形即可；

（2）由等腰三角形的性质得出∠ABE=∠AFG，∠EAB=∠GAF，证明△EAB≌△GAF（ASA），得出BE=FG，证明△EAB≌△EAC（SAS），得出BE=CE，即可得出结论；

（3）由（2）得∠CAE=∠BAE，△EAB≌△GAF，△EAB≌△EAC，由全等三角形的性质得出AE=AG，∠ABE=∠ACE，由等腰三角形的性质得出∠AEG=∠AGE，证出∠AEG=∠EAG=∠AGE，得出△AGE是等边三角形，由等边三角形的性质得出∠AEG=60°，由三角形的外角性质即可得出结论．

解：（1）依题意补全图形，如图所示：

（2）证明：由题意得：AB=AC=AF，

∴∠ABE=∠AFG，

∵∠EAC+∠CAG=∠EAG，∠CAG+∠GAF=∠CAF，∠EAG=∠CAF，

∴∠EAC=∠GAF，

∵AB=AC，AD为边BC上的中线，

∴∠EAC=∠EAB，

∴∠EAB=∠GAF，

在△EAB和△GAF中，，

∴△EAB≌△GAF（ASA），

∴BE=FG，

在△EAB和△EAC中，，

∴△EAB≌△EAC（SAS），

∴BE=CE，

∴FG=CE.

（3）由（2）得：∠CAE=∠BAE，△EAB≌△GAF，△EAB≌△EAC，

∴AE=AG，∠ABE=∠ACE，

∴∠AEG=∠AGE，

∵EF平分∠AEC，

∴∠AEG=∠CEG，

∴∠AGE=∠CEG，

∴AG∥CE，

∴∠GAC=∠ACE，

∴∠ABE=∠GAC，

∵∠AEG=∠ABE+∠BAE，∠EAG=∠EAC+∠GAC，

∴∠AEG=∠EAG=∠AGE，

∴△AGE是等边三角形，

∴∠AEG=60°，

∴∠BAE+∠ABE=60°.

故答案为：∠BAE+∠ABE=60°．