题目内容
【题目】【问题情境】
课外兴趣小组活动时,老师提出了如下问题:
如图①,△ABC中,若AB=12,AC=8,求BC边上的中线AD的取值范围.
小明在组内经过合作交流,得到了如下的解决方法:延长AD至点E,使DE=AD,连接BE.请根据小明的方法思考:
(1)由已知和作图能得到△ADC≌△EDB,依据是 .
A.SSS B.SAS C.AAS D.HL
(2)由“三角形的三边关系”可求得AD的取值范围是 .
解后反思:题目中出现“中点”、“中线”等条件,可考虑延长中线构造全等三角形,把分散的已知条件和所求证的结论集中到同一个三角形之中.
【初步运用】
如图②,AD是△ABC的中线,BE交AC于E,交AD于F,且AE=EF.若EF=3,EC=2,求线段BF的长.
【灵活运用】
如图③,在△ABC中, ∠A=90°,D为BC中点, DE⊥DF,DE交AB于点E,DF交AC于点F,连接EF.试猜想线段BE、CF、EF三者之间的等量关系,并证明你的结论.
【答案】【问题提出】(1)B;(2)2<AD<10;【初步运用】5;【灵活运用】猜想:BE2+CF2=EF2,证明见解析.
【解析】试题分析:【问题提出】(1)根据AD=DE,∠ADC=∠BDE,BD=DC推出△ADC和△EDB全等即可;(2)根据全等得出BE=AC=8,AE=2AD,由三角形三边关系定理得出12-8<2AD<12+8,求出即可;
【初步运用】延长AD到M,使AD=DM,连接BM,根据SAS证△ADC≌△MDB,推出BM=AC,∠CAD=∠M,根据AE=EF,推出∠CAD=∠AFE=∠BFD,求出∠BFD=∠M,根据等腰三角形的性质求出即可;
【灵活运用】延长FD至G,使得DG=DF,连接BG、EG,根据SAS证△FDC≌△GDB,由全等三角形的性质得到CF=BG,∠FCD=∠GBD,由线段垂直平分线的性质得EF=EG,由同角的余角相等证∠EBG=90°,在Rt△EBG中用勾股定理即可得证.
试题解析:
【问题提出】(1)∵在△ADC和△EDB中,AD=DE,∠ADC=∠BDE,BD=CD,
∴△ADC≌△EDB(SAS),
故选B;
(2)∵由(1)知:△ADC≌△EDB,
∴BE=AC=8,AE=2AD,
∵在△ABE中,AB=12,由三角形三边关系定理得:128<2AD<12+8,
∴2<AD<10,
故答案为:2<AD<10;
【初步运用】
如图,延长AD到M,使DM=AD,连接BM
∵AD是△ABC中线
∴BD=DC
又∵∠ADC=∠MDB
∴△ADC≌△MDB
∴BM=AC,∠CAD=∠M
∵AE=EF
∴∠CAD=∠AFE
∵∠AFE=∠BFD
∴∠BFD=∠CAD=∠M
∴BF=BM=AC=3+2=5;
【灵活运用】
猜想:BE2+CF2=EF2
理由:如图,延长FD至G,使得DG=DF,连接BG、EG,则△FDC≌△GDB.
∴CF=BG,∠FCD=∠GBD,
∵DF=DG,DE⊥DF,
∴EF=EG,
在△ABC中,∵∠A=90°,
∴∠EBC+∠FCB=90°,
∴∠EBC+∠GBD=90°,即∠EBG=90°,
∴在Rt△EBG中,BE2+BG2=EG2,
∴BE2+CF2=EF2.