题目内容

【题目】【问题情境】

课外兴趣小组活动时,老师提出了如下问题:

如图①ABC中,若AB=12,AC=8,求BC边上的中线AD的取值范围.

小明在组内经过合作交流,得到了如下的解决方法:延长AD至点E,使DEAD,连接BE.请根据小明的方法思考:

(1)由已知和作图能得到ADC≌△EDB,依据是

A.SSS B.SAS C.AAS D.HL

(2)由三角形的三边关系可求得AD的取值范围是

解后反思:题目中出现中点”、“中线等条件,可考虑延长中线构造全等三角形,把分散的已知条件和所求证的结论集中到同一个三角形之中.

【初步运用】

如图②ADABC的中线,BEACE,交ADF,且AEEF.若EF=3,EC=2,求线段BF的长.

【灵活运用】

如图③,在ABC中, A=90°,DBC中点, DEDFDEAB于点EDFAC于点F,连接EF.试猜想线段BE、CF、EF三者之间的等量关系,并证明你的结论.

【答案】【问题提出】(1)B;(2)2<AD<10;【初步运用】5;【灵活运用】猜想:BE2CF2EF2,证明见解析.

【解析】试题分析:【问题提出】(1)根据AD=DE,ADC=BDE,BD=DC推出ADCEDB全等即可;(2)根据全等得出BE=AC=8,AE=2AD,由三角形三边关系定理得出12-8<2AD<12+8,求出即可;

【初步运用】延长ADM,使AD=DM,连接BM,根据SASADC≌△MDB,推出BM=AC,CAD=M,根据AE=EF,推出∠CAD=AFE=BFD,求出∠BFD=M,根据等腰三角形的性质求出即可;

【灵活运用】延长FDG,使得DG=DF,连接BG、EG,根据SASFDC≌△GDB,由全等三角形的性质得到CF=BG,FCD=GBD,由线段垂直平分线的性质得EF=EG,由同角的余角相等证∠EBG=90°,在RtEBG中用勾股定理即可得证.

试题解析:

【问题提出】(1)∵在ADCEDB中,AD=DE,ADC=BDE,BD=CD,

ADCEDB(SAS),

故选B;

(2)∵由(1)知:ADCEDB,

BE=AC=8,AE=2AD,

∵在ABE中,AB=12,由三角形三边关系定理得:128<2AD<12+8,

2<AD<10,

故答案为:2<AD<10;

【初步运用】

如图,延长ADM,使DM=AD,连接BM

ADABC中线

BD=DC

又∵∠ADC=MDB

∴△ADC≌△MDB

BM=AC,CAD=M

AE=EF

∴∠CAD=AFE

∵∠AFE=BFD

∴∠BFD=CAD=M

BF=BM=AC=3+2=5;

【灵活运用】

猜想:BE2+CF2=EF2

理由:如图,延长FDG,使得DG=DF,连接BG、EG,则FDC≌△GDB.

CF=BG,FCD=GBD,

DF=DG,DEDF,

EF=EG,

ABC中,∵∠A=90°,

∴∠EBC+FCB=90°,

∴∠EBC+GBD=90°,即∠EBG=90°,

∴在RtEBG中,BE2+BG2=EG2

BE2+CF2=EF2

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