题目内容

如图,已知抛物线y=2x2-2与x轴交于A,B两点(点A在点B的左侧),与y轴交于点C.
(1)写出以A,B,C为顶点的三角形面积;
(2)过点E(0,6)且与x轴平行的直线l1与抛物线相交于M、N两点(点M在点N的左侧),以MN为一边,抛物线上的任一点P为另一顶点做平行四边形,当平行四边形的面积为8时,求出点P、N的坐标;
(3)过点D(m,0)(其中m>1)且与x轴垂直的直线l2上有一点Q(点Q在第一象限),使得以Q,D,B为顶点的三角形和以B,C,O为顶点的三角形相似,求线段QD的长(用含m的代数式表示).

(1) 2;(2) P、N的坐标见解析;(3)线段QD的长为2m-2或

解析试题分析:(1)在二次函数的解析式y=2x2-2中,令y=0,求出x=±1,得到AB=2,令x=0时,求出y=-2,得到OC=2,然后根据三角形的面积公式即可求出△ABC的面积;
(2)先将y=6代入y=2x2-2,求出x=±2,得到点M与点N的坐标,则MN=4,再由平行四边形的面积公式得到MN边上的高为2,则P点纵坐标为8或4.分两种情况讨论:①当P点纵坐标为8时,将y=8代入y=2x2-2,求出x的值,得到点P的坐标;②当P点纵坐标为4时,将y=4代入y=2x2-2,求出x的值,得到点P的坐标;
(3)由于∠QDB=∠BOC=90°,所以以Q,D,B为顶点的三角形和以B,C,O为顶点的三角形相似时,分两种情况讨论:①OB与BD边是对应边,②OB与QD边是对应边两种情况,根据相似三角形对应边成比例列式计算求出QD的长度即可.
试题解析:(1)∵y=2x2-2,
∴当y=0时,2x2-2=0,x=±1,
∴点A的坐标为(-1,0),点B的坐标为(1,0),AB=2,
又当x=0时,y=-2,
∴点C的坐标为(0,-2),OC=2,
∴SABC=AB•OC=×2×2=2;
(2)将y=6代入y=2x2-2,
得2x2-2=6,x=±2,
∴点M的坐标为(-2,6),点N的坐标为(2,6),MN=4.
∵平行四边形的面积为8,
∴MN边上的高为:8÷4=2,
∴P点纵坐标为6±2.
①当P点纵坐标为6+2=8时,2x2-2=8,x=±
∴点P的坐标为(,8)或(-,8);
②当P点纵坐标为6-2=4时,2x2-2=4,x=±
∴点P的坐标为(,4)或(-,4);
(3)∵点B的坐标为(1,0),点C的坐标为(0,-2),
∴OB=1,OC=2.
∵∠QDB=∠BOC=90°,
∴以Q,D,B为顶点的三角形和以B,C,O为顶点的三角形相似时,分两种情况:
①OB与BD边是对应边时,△OBC∽△DBQ,
,即
解得DQ=2(m-1)=2m-2,
②OB与QD边是对应边时,△OBC∽△DQB,
,即
解得DQ=
综上所述,线段QD的长为2m-2或

考点:二次函数综合题.

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