Question

如图，已知抛物线y=x²+bx+c的顶点坐标为M（0，﹣1），与x轴交于A、B两点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）判断△MAB的形状，并说明理由；
（3）过原点的任意直线（不与y轴重合）交抛物线于C、D两点，连接MC，MD，试判断MC、MD是否垂直，并说明理由．
 

Answer 1

（1）抛物线的解析式为：y=x²﹣1；
（2）△MAB是等腰直角三角形，理由见解析；
（3）MC⊥MF，理由见解析．

解析试题分析：（1）待定系数法即可解得．
（2）由抛物线的解析式可知OA=OB=OC=1，得出∠AMO=∠MAO=∠BMO=∠BOM=45°从而得出△MAB是等腰直角三角形．
（3）分别过C点，D点作y轴的平行线，交x轴于E、F，过M点作x轴的平行线交EC于G，交DF于H，设D（m，m²﹣1），C（n，n²﹣1），通过FG∥DH，得出，从而求得m、n的关系，根据m、n的关系，得出△CGM∽△MHD，即可求得结论．
试题解析：（1）∵抛物线y=x²+bx+c的顶点坐标为M（0，﹣1），
∴b=0，c=﹣1，
∴抛物线的解析式为：y=x²﹣1；
（2）△MAB是等腰直角三角形，
由抛物线的解析式为：y=x²﹣1可知A（﹣1，0），B（1，0），
∴OA=OB=OC=1，
∴∠AMO=∠MAO=∠BMO=∠BOM=45°，
∴∠AMB=∠AMO+∠BMO=90°
∵y轴是对称轴，
∴A、B为对称点，
∴AM=BM，
∴△MAB是等腰直角三角形；
（3）MC⊥MF；分别过C点，D点作y轴的平行线，交x轴于E、F，过M点作x轴的平行线交EC于G，交DF于H，

设D（m，m²﹣1），C（n，n²﹣1），
∴OE=﹣n，CE=1﹣n²，OF=m，DF=m²﹣1，
∵OM=1，
∴CG=n²，DH=m²，
∵FG∥DH，
∴，
即
解得m=﹣，
又∵=﹣n，，
∴，
∵∠CGM=∠MHD=90°，
∴△CGM∽△MHD，
∴∠CMG=∠MDH，
∵∠MDH+∠DMH=90°
∴∠CMG+∠DMH=90°，
∴∠CMD=90°，
即MC⊥MF．
考点：二次函数综合题．