Question

在平面直角坐标系中，二次函数（）的图象与轴正半轴交于A点．
（1）求证：该二次函数的图象与x轴必有两个交点；
（2）设该二次函数的图象与x轴的两个交点中右侧的交点为点B，若∠ABO=45°，将直线AB向下平移2个单位得到直线l，求直线l的解析式；
（3）在（2）的条件下，设M（p，q）为二次函数图象上的一个动点，当时，点M关于x轴的对称点都在直线l的下方，求m的取值范围．

Answer 1

（1）证明见解析；（2）；（3）．

解析试题分析：（1）根据二次函数与一元二次方程的关系，要证明二次函数的图象与x轴有两个交点，只要对应的一元二次方程根的判别式大于0即可.
（2）求出直线AB的解析式，根据平移的性质即可得直线l的解析式.
（3）求出点M关于x轴的对称点所在的二次函数解析式，由其在直线l的下方求出m的取值范围．
试题解析：（1）令，则
.
∵二次函数图象与y轴正半轴交于A点，
∴，且.
又，∴.
∴.
∴该二次函数的图象与x轴必有两个交点．
（2）令，解得：．
由（1）得，故B的坐标为（1，0）．
又因为∠ABO=45°，所以，即.
则可求得直线AB的解析式为.
再向下平移2个单位可得到直线．
（3）由（2）得二次函数的解析式为
∵M（p，q）为二次函数图象上的一个动点，
∴.
∴点M关于x轴的对称点的坐标为.
∴点在二次函数上.
∵当时，点M关于x轴的对称点都在直线l的下方，
当时，；当时，.
结合图象可知：，
解得：.
∴的取值范围为．

考点：1.二次函数综合题；2.平移和轴对称的性质；3．二次函数与一元二次方程的关系；4．一元二次方程根的判别式.