题目内容
在平面直角坐标系中,二次函数()的图象与轴正半轴交于A点.
(1)求证:该二次函数的图象与x轴必有两个交点;
(2)设该二次函数的图象与x轴的两个交点中右侧的交点为点B,若∠ABO=45°,将直线AB向下平移2个单位得到直线l,求直线l的解析式;
(3)在(2)的条件下,设M(p,q)为二次函数图象上的一个动点,当时,点M关于x轴的对称点都在直线l的下方,求m的取值范围.
(1)证明见解析;(2);(3).
解析试题分析:(1)根据二次函数与一元二次方程的关系,要证明二次函数的图象与x轴有两个交点,只要对应的一元二次方程根的判别式大于0即可.
(2)求出直线AB的解析式,根据平移的性质即可得直线l的解析式.
(3)求出点M关于x轴的对称点所在的二次函数解析式,由其在直线l的下方求出m的取值范围.
试题解析:(1)令,则
.
∵二次函数图象与y轴正半轴交于A点,
∴,且.
又,∴.
∴.
∴该二次函数的图象与x轴必有两个交点.
(2)令,解得:.
由(1)得,故B的坐标为(1,0).
又因为∠ABO=45°,所以,即.
则可求得直线AB的解析式为.
再向下平移2个单位可得到直线.
(3)由(2)得二次函数的解析式为
∵M(p,q)为二次函数图象上的一个动点,
∴.
∴点M关于x轴的对称点的坐标为.
∴点在二次函数上.
∵当时,点M关于x轴的对称点都在直线l的下方,
当时,;当时,.
结合图象可知:,
解得:.
∴的取值范围为.
考点:1.二次函数综合题;2.平移和轴对称的性质;3.二次函数与一元二次方程的关系;4.一元二次方程根的判别式.
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