题目内容
【题目】已知抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于A、B两点,与y轴交于点C,其中点B在x轴的正半轴上,点C在y轴的正半轴上,线段OB、OC的长(OB<OC)是方程x2﹣10x+16=0的两个根,且抛物线的对称轴是直线x=﹣2.
(1)求A、B、C三点的坐标;
(2)求此抛物线的表达式;
(3)连接AC、BC,若点E是线段AB上的一个动点(与点A、点B不重合),过点E作EF∥AC交BC于点F,连接CE,设AE的长为m,△CEF的面积为S,求S与m之间的函数关系式,并写出自变量m的取值范围;
(4)在(3)的基础上试说明S是否存在最大值?若存在,请求出S的最大值,并求出此时点E的坐标,判断此时△BCE的形状;若不存在,请说明理由.
【答案】
(1)
解:解方程x2﹣10x+16=0得x1=2,x2=8
∵点B在x轴的正半轴上,点C在y轴的正半轴上,且OB<OC
∴点B的坐标为(2,0),点C的坐标为(0,8)
又∵抛物线y=ax2+bx+c的对称轴是直线x=﹣2
∴由抛物线的对称性可得点A的坐标为(﹣6,0)
(2)
解:∵点C(0,8)在抛物线y=ax2+bx+c的图象上
∴c=8,将A(﹣6,0)、B(2,0)代入表达式,
得:
解得
∴所求抛物线的表达式为y=﹣ x2﹣
x+8
(3)
解:依题意,AE=m,则BE=8﹣m,
∵OA=6,OC=8,
∴AC=10
∵EF∥AC
∴△BEF∽△BAC
∴ =
,即
=
∴EF=
过点F作FG⊥AB,垂足为G,
则sin∠FEG=sin∠CAB=
∴ =
∴FG=
=8﹣m
∴S=S△BCE﹣S△BFE
= (8﹣m)×8﹣
(8﹣m)(8﹣m)
= (8﹣m)(8﹣8+m)
= (8﹣m)m
=﹣ m2+4m
自变量m的取值范围是0<m<8
(4)
解:存在.
理由:∵S=﹣ m2+4m=﹣
(m﹣4)2+8且﹣
<0,
∴当m=4时,S有最大值,S最大值=8
∵m=4,
∴点E的坐标为(﹣2,0)
∴△BCE为等腰三角形.
【解析】(1)先解一元二次方程,得到线段OB、OC的长,也就得到了点B、C两点坐标,根据抛物线的对称性可得点A坐标;(2)把A、B、C三点代入二次函数解析式就能求得二次函数解析式;(3)易得S△EFF=S△BCE﹣S△BFE , 只需利用平行得到三角形相似,求得EF长,进而利用相等角的正弦值求得△BEF中BE边上的高;(4)利用二次函数求出最值,进而求得点E坐标.OC垂直平分BE,那么EC=BC,所求的三角形是等腰三角形.
