Question

【题目】我们规定，以二次函数y=ax2+bx+c的二次项系数a的2倍为一次项系数，一次项系数b为常数项构造的一次函数y=2ax+b叫做二次函数y=ax2+bx+c的“子函数”，反过来，二次函数y=ax2+bx+c叫做一次函数y=2ax+b的“母函数”．

（1）若一次函数y=2x-4是二次函数y=ax2+bx+c的“子函数”，且二次函数经过点（3，0），求此二次函数的解析式及顶点坐标．

（2）若“子函数”y=x-6的“母函数”的最小值为1，求“母函数”的函数表达式．

（3）已知二次函数y=-x2-4x+8的“子函数”图象直线l与x轴、y轴交于C、D两点，动点P为二次函数y=-x2-4x+8对称轴右侧上的动点，求△PCD的面积的最大值．

Answer 1

【答案】(1) ，抛物线的顶点坐标为； (2) “母函数”的函数表达式为；(3)当时，最大，最大值为．

【解析】

(1)根据二次函数y=ax2+bx+c的“子函数”的定义，可知a=1，b=-4，再把点（3，0）代入解析式即可解决问题．
（2）“子函数”的“母函数”为．利用最小值为1即可求出C的值．
（3）得直线的表达式为，可求C,D坐标,再根据可解决问题．

(1)由题意得，，

∴抛物线的解析式为，把点代入可得，

∴抛物线的解析式为．

∵，

∴抛物线的顶点坐标为．

(2)“子函数”的“母函数”为．

∵，

∴，

∴，

∴“母函数”的函数表达式为．

(3)如图，连接，设点的坐标为．

由题意得直线的表达式为，

∴，，

∴

，

∴当时，最大，最大值为．