Question

【题目】 （2016柳州）如图1，抛物线的顶点坐标为（0，﹣1），且经过点A（﹣2，0）．

（1）求抛物线的解析式；

（2）若将抛物线中在x轴下方的图象沿x轴翻折到x轴上方，x轴上方的图象保持不变，就得到了函数图象上的任意一点，直线l是经过（0，1）且平行与x轴的直线，过点P作直线l的垂线，垂足为D，猜想并探究：PO与PD的差是否为定值？如果是，请求出此定值；如果不是，请说明理由．

（注：在解题过程中，如果你觉得有困难，可以阅读下面的材料）

附阅读材料：

1．在平面直角坐标系中，若A、B两点的坐标分别为A（，），B（，），则A，B两点间的距离为|AB|=，这个公式叫两点间距离公式．

例如：已知A，B两点的坐标分别为（﹣1，2），（2，﹣2），则A，B两点间的距离为|AB|==5．

2．因式分解：．

Answer 1

【答案】（1）；（2）当x＜、﹣2≤x≤2或x＞时，PO与PD的差为定值．

【解析】

试题分析：（1）待定系数法求解可得；

（2）先根据题意表示出翻折后抛物线解析式，再求出y=1时x的值，继而可分﹣2≤x≤2、≤x＜﹣2或2＜x≤、x＜或x＞三种情况，根据两点间距离公式列式表示出PO与PD的差即可得出答案．

试题解析：（1）根据题意设抛物线解析式为，将点A（﹣2，0）代入，得：4a﹣1=0，解得：a=，∴抛物线的解析式为；

（2）如图，根据题意，当﹣2≤x≤2时，；

当x＜﹣2或x＞2时，；

由可得点M（，1）、点N（，1），①当﹣2≤x≤2时，设点P坐标为（a，），则PO﹣PD===1；

②当≤x＜﹣2或2＜x≤时，设点P的坐标为（a，），则PO﹣PD===；

③当x＜或x＞时，设点P的坐标为（a，），则PO﹣PD===3；

综上，当x＜、﹣2≤x≤2或x＞时，PO与PD的差为定值．