Question

【题目】如图，抛物线L：与x轴交于A、B（3，0）两点（A在B的左侧），与y轴交于点C（0，3），已知对称轴x=1．

（1）求抛物线L的解析式；

（2）将抛物线L向下平移h个单位长度，使平移后所得抛物线的顶点落在△OBC内（包括△OBC的边界），求h的取值范围；

（3）设点P是抛物线L上任一点，点Q在直线l：x=﹣3上，△PBQ能否成为以点P为直角顶点的等腰直角三角形？若能，求出符合条件的点P的坐标；若不能，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）2≤h≤4；（3）P（1，4）或（0，3）或（，）或（，）．

【解析】

试题分析：（1）利用待定系数法求出抛物线的解析式即可；

（2）先求出直线BC解析式为y=﹣x+3，再求出抛物线顶点坐标，得出当x=1时，y=2；结合抛物线顶点坐即可得出结果；

（3）设P（m，），Q（﹣3，n），（3）设P（m，），Q（﹣3，n）．分两种情况讨论：①当P点在x轴上方时，过P点作PM垂直于y轴，交y轴与M点，过B点作BN垂直于MP的延长线于N点，可证明△PQM≌△BPN（AAS），得到PM=BN，由PM=BN=，根据B点坐标可得PN=3﹣m，且PM+PN=6，得到，解方程即可．

②当P点在x轴下方时，过P点作PM垂直于l于M点，过B点作BN垂直于MP的延长线与N点，同理可得△PQM≌△BPN，得到PM=BN， PM=6﹣（3﹣m）=3+m，BN=，则，解方程即可．

试题解析：（1）∵抛物线的对称轴x=1，B（3，0），∴A（﹣1，0）．

∵抛物线过点C（0，3），∴当x=0时，c=3．

又∵抛物线过点A（﹣1，0），B（3，0），∴，∴，∴抛物线的解析式为：；

（2）∵C（0，3），B（3，0），∴直线BC解析式为y=﹣x+3，∵=，∴顶点坐标为（1，4）

∵对于直线BC：y=﹣x+1，当x=1时，y=2；将抛物线L向下平移h个单位长度，∴当h=2时，抛物线顶点落在BC上；

当h=4时，抛物线顶点落在OB上，∴将抛物线L向下平移h个单位长度，使平移后所得抛物线的顶点落在△OBC内（包括△OBC的边界），则2≤h≤4；

（3）设P（m，），Q（﹣3，n）．分两种情况讨论：

①当P点在x轴上方时，过P点作PM垂直于y轴，交y轴与M点，过B点作BN垂直于MP的延长线于N点，如图所示，∵B（3，0），∵△PBQ是以点P为直角顶点的等腰直角三角形，∴∠BPQ=90°，BP=PQ，则∠PMQ=∠BNP=90°，∠MPQ=∠NBP，在△PQM和△BPN中，∵∠PMQ=∠BNP，∠MPQ=∠BNP，PQ=BP，∴△PQM≌△BPN（AAS），∴PM=BN，∵PM=BN=，根据B点坐标可得PN=3﹣m，且PM+PN=6，∴，解得：m=1或m=0，∴P（1，4）或P（0，3）．

②当P点在x轴下方时，过P点作PM垂直于l于M点，过B点作BN垂直于MP的延长线与N点，同理可得△PQM≌△BPN，∴PM=BN，∴PM=6﹣（3﹣m）=3+m，BN=，则，解得m=或，∴P（，）或（，）．

综上可得，符合条件的点P的坐标是（1，4），（0，3），（，）和（，）．