题目内容
【题目】长为1，宽为a的矩形纸片（
），如图那样折一下，剪下一个边长等于矩形宽度的正方形（称为第一次操作）；再把剩下的矩形如图那样折一下，剪下一个边长等于此时矩形宽度的正方形（称为第二次操作）；如此反复操作下去．若在第n此操作后，剩下的矩形为正方形，则操作终止．当n=3时，a的值为（ ）
【答案】
或
．
【解析】
根据操作步骤，可知每一次操作时所得正方形的边长都等于原矩形的宽．所以首先需要判断矩形相邻的两边中，哪一条边是矩形的宽．当
＜a＜1时，矩形的长为1，宽为a，所以第一次操作时所得正方形的边长为a，剩下的矩形相邻的两边分别为1-a，a．由1-a＜a可知，第二次操作时所得正方形的边长为1-a，剩下的矩形相邻的两边分别为1-a，a-（1-a）=2a-1．由于（1-a）-（2a-1）=2-3a，所以（1-a）与（2a-1）的大小关系不能确定，需要分情况进行讨论．又因为可以进行三次操作，故分两种情况：①1-a＞2a-1；②1-a＜2a-1．对于每一种情况，分别求出操作后剩下的矩形的两边，根据剩下的矩形为正方形，列出方程，求出a的值．
解：由题意，可知当＜a＜1时，第一次操作后剩下的矩形的长为a，宽为1-a，所以第二次操作时正方形的边长为1-a，第二次操作以后剩下的矩形的两边分别为1-a，2a-1．
故答案为1-a；
此时，分两种情况：
①如果1-a＞2a-1，即a＜
，那么第三次操作时正方形的边长为2a-1．
∵经过第三次操作后所得的矩形是正方形，
∴矩形的宽等于1-a，
即2a-1=（1-a）-（2a-1），解得a=；
②如果1-a＜2a-1，即a＞，那么第三次操作时正方形的边长为1-a．
则1-a=（2a-1）-（1-a），解得a=．
综上所述：a的值是或.
名校课堂系列答案
【题目】在“节能减排，做环保小卫士”活动中，小明对两种照明灯的使用情况进行了调查，得出如表所示的数据：
功率 | 使用寿命 | 价格 | |
普通白炽灯 |
|
|
|
优质节能灯 |
|
|
|
已知这两种灯的照明效果一样，小明家所在地的电价是每度
元.（注：用电度数
功率（千瓦）
时间（小时），费用灯的售价
电费）；如：若选用一盏普通白炽灯照明
小时，那么它的费用为
（元），请解决以下问题：
（1）在白炽灯的使用寿命内，设照明时间为
小时，请用含的代数式分别表示用一盏白炽灯的费用
，（元）和一盏节能灯的费用
（元）；
（2）在白炽灯的使用寿命内，照明多少小时时，使用这两种灯的费用相等？
（3）如果计划照明
小时，购买哪一种灯更省钱？请你通过计算说明理由．
