题目内容

【题目】在△ABC中,∠A、∠B、∠C所对的边分别用abc表示.

1)如图①,在△ABC中,∠A2B,且∠A60°.求证:a2bb+c

2)如图②,在△ABC中,最大角∠A是最小角∠C2倍,且c7b8,求a的长.

3)若一个三角形的一个内角等于另一个内角的2倍,我们则称这样的三角形为“倍角三角形”.问题(1)中的三角形是一个特殊的倍角三角形,那么对于任意的倍角△ABC,如图③,∠A2B,关系式a2bb+c)是否仍然成立?并证明你的结论.

【答案】1)见解析;(2a;(3)关系式a2bb+c)仍然成立,见解析.

【解析】

1)先证△ACB为直角三角形,知acbc,据此可得a2=(c2bb+c)=cc+c)=,从而得出答案;

2)延长CA至点D,使ADAB,连接BD,证△CBD∽△DAB,据此可得BD,由∠C=∠DaBCBD

3)延长BAD,使ADACb,连结CD,证△ADC∽△CDB,据此可得答案.

解:(1)证明:∵∠A2B60°,

∴∠B30°,

则∠C180°﹣∠A﹣∠B90°,

∴△ACB为直角三角形,

RtACBacbc

所以a2=(c2bb+c)=cc+c)=

所以a2bb+c);

2)如图1,延长CA至点D,使ADAB,连接BD

则∠D=∠ABDCAB=∠C

∴△CBD∽△DAB

BD2ABCD7×(8+7)=105

BD

又∠C=∠D

aBCBD

3)对于任意的倍角△ABC,∠A2B,关系式a2bb+c)仍然成立,

如图2,延长BAD,使ADACb,连结CD

则∠CAB2D

∴∠B=∠DBCCDa

∴△ADC∽△CDB

所以a2bb+c).

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