题目内容
【题目】在△ABC中,∠A、∠B、∠C所对的边分别用a、b、c表示.
(1)如图①,在△ABC中,∠A=2∠B,且∠A=60°.求证:a2=b(b+c)
(2)如图②,在△ABC中,最大角∠A是最小角∠C的2倍,且c=7,b=8,求a的长.
(3)若一个三角形的一个内角等于另一个内角的2倍,我们则称这样的三角形为“倍角三角形”.问题(1)中的三角形是一个特殊的倍角三角形,那么对于任意的倍角△ABC,如图③,∠A=2∠B,关系式a2=b(b+c)是否仍然成立?并证明你的结论.
【答案】(1)见解析;(2)a=;(3)关系式a2=b(b+c)仍然成立,见解析.
【解析】
(1)先证△ACB为直角三角形,知a=c,b=
c,据此可得a2=(
c)2=
,b(b+c)=
c(
c+c)=
,从而得出答案;
(2)延长CA至点D,使AD=AB,连接BD,证△CBD∽△DAB得,据此可得BD=
,由∠C=∠D知a=BC=BD=
;
(3)延长BA至D,使AD=AC=b,连结CD,证△ADC∽△CDB得,据此可得答案.
解:(1)证明:∵∠A=2∠B=60°,
∴∠B=30°,
则∠C=180°﹣∠A﹣∠B=90°,
∴△ACB为直角三角形,
在Rt△ACB中a=c,b=
c,
所以a2=(c)2=
,b(b+c)=
c(
c+c)=
,
所以a2=b(b+c);
(2)如图1,延长CA至点D,使AD=AB,连接BD,
则∠D=∠ABD=∠CAB=∠C,
∴△CBD∽△DAB,
∴,
∴BD2=ABCD=7×(8+7)=105,
∴BD=,
又∠C=∠D,
∴a=BC=BD=
(3)对于任意的倍角△ABC,∠A=2∠B,关系式a2=b(b+c)仍然成立,
如图2,延长BA至D,使AD=AC=b,连结CD,
则∠CAB=2∠D,
∴∠B=∠D,BC=CD=a,
∴△ADC∽△CDB
∴,
即.
所以a2=b(b+c).
