Question

【题目】在△ABC中，AB=2，AC=4，BC=2，以AB为边向△ABC外作△ABD，若△ABD是等腰直角三角形，则线段CD的长为_____．

Answer 1

【答案】或或

【解析】

分（1）AB＝BD，（2）AB＝AD，（3）AD＝BD三种情况，根据勾股定理分别计算CD的值即可.

解：（1）当AB＝BD时，作DE⊥BE，

∵∠CAB+∠ABC＝90°，∠ABC+∠DBE＝90°，

∴∠CAB＝∠DBE，

在△BED和△ACB中，

，

∴△BED≌△ACB（AAS），

∴BE＝AC＝4，DE＝BC＝2，

∴CD＝＝；

（2）如图所示，当AB＝AD时，作DE⊥AE，∵∠CAB+∠ABC＝90°，∠BAC+∠DAE＝90°，

∴∠ABC＝∠DAE，

在△DEA和△ACB中，

，

∴△DEA≌△ACB（AAS），

∴DE＝AC＝4，AE＝BC＝2，

∴CD＝＝；

（3）如图所示，当AD＝BD时，作DE⊥AC，DF⊥CB延长线于F，∵∠ADE+∠BDE＝90°，∠BDF+∠BDE＝90°，

∴∠ADE＝∠BDF，

在△ADE和△BDF中，

，

∴△ADE≌△BDF（AAS），

∴AE＝BF，

∴AC+BC＝AE+CE+CF﹣BF＝2CE．

∴CE＝3，

∴CD＝．

综上所述，CD的长是或或，

故答案为：或或.