Question

【题目】定义：我们知道，四边形的一条对角线把这个四边形分成了两个三角形，如果这两个三角形相似(不全等)，我们就把这条对角线叫做这个四边形的“相似对角线”．

(1)如图1，已知四边形在正方形网格中，顶点都在格点上，判断：四边形______(填“是”或“不是”)以为“相似对角线”的四边形；

(2)如图，在四边形中，，，对角线平分．求证：是四边形的“相似对角线”；

(3)如图，已知是四边形的“相似对角线”，．连接，若的面积为，求的长．

Answer 1

【答案】（1）是；（2）见解析；（3）4．

【解析】

（1）先根据勾股定理计算出AB，BC的长，再得出，结合∠ABC=∠ACD=90°，可得出△ABC∽△ACD，从而可得出结果；

（2）先判断出∠A+∠ADB=140°=∠ADC，从而可得出∠A=∠BDC，证明△ABD∽△DBC即可得出结论；
（3）由已知可知△FEH∽△FHG，得出FH2=FEFG；过点E作EQ⊥FG于Q，继而得出EQ=FE，再结合的面积为求出FGFE=16，从而可得出结论．

（1）解：根据勾股定理得，

AB=，BC=，

又AC=5，∴AB2+BC2=AC2，∴∠ABC=90°=∠ACD，

∴，

∴，

∴△ABC∽△ACD，

∴四边形ABCD是以AC为“相似对角线”的四边形．

故答案为：是；

（2）证明：如图2中，
∵∠ABC=80°，BD平分∠ABC，
∴∠ABD=∠DBC=40°，
∴∠A+∠ADB=140°
∵∠ADC=140°，
∴∠BDC+∠ADB=140°，
∴∠A=∠BDC，
∴△ABD∽△DBC，
∴BD是四边形ABCD的“相似对角线”；
（3）解：如图3，
∵FH是四边形EFGH的“相似对角线”，
∴△EFH与△HFG相似，
∵∠EFH=∠HFG，
∴△FEH∽△FHG，，

∴FH2=FEFG，
过点E作EQ⊥FG于Q，

∵=30°，∴∠EFG=60°，
∴EQ=FEsin60°=FE，

，

∴，

∴FGFE=16，
∴FH2=FEFG=16，
∴FH=4．