Question

【题目】如图，在矩形ABCD中，∠BAD的平分线交BC于点E，过E作EF⊥AD于F．

（1）求证：四边形ABEF是正方形；

（2）连接BF交AE于点O，连接DO，若CD=2，CE=1，求OD的长．

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）OD的长为．

【解析】

（1）先根据矩形的判定可得出四边形ABEF是矩形，再根据角平分线的性质可得，然后根据正方形的判定即可得证；

（2）如图（见解析），过点O作于点G，先根据正方形的性质得出点O为AE的中点，再根据中位线定理可得的长，从而可得DG的长，然后利用勾股定理求解即可．

（1）四边形ABCD是矩形

四边形ABEF是矩形

又平分

（角平分线的性质）

矩形ABEF是正方形

即四边形ABEF是正方形；

（2）如图，过点O作于点G，则

同（1）可得：四边形CDFE是矩形

由（1）可知，四边形ABEF是正方形

，点O是对角线AE的中点

OG是的中位线

，点G是AF的中点

在中，

故OD的长为．