Question

如图，⊙O的直径AB=10，C、D是圆上的两点，且．设过点D的切线ED交AC的延长线于点F．连接OC交AD于点G．

（1）求证：DF⊥AF．
（2）求OG的长．

Answer 1

（1）证明见解析
（2）OG=。

试题分析：（1）连接BD，根据，可得∠CAD=∠DAB=30°，∠ABD=60°，从而可得∠AFD=90°。
（2）根据垂径定理可得OG垂直平分AD，继而可判断OG是△ABD的中位线，在Rt△ABD中求出BD，即可得出OG。　
解：（1）证明：连接BD，

∵AB是⊙O的直径，，
∴∠CAD=∠DAB=30°，∠ABD=60°。
∵ED是⊙O的切线，∴∠ADF=∠ABD=60°。
∴∠CAD+∠ADF=90°。∴∠AFD=90°。
∴DF⊥AF。
（2）在Rt△ABD中，∠BAD=30°，AB=10，∴BD=5。
∵，∴OG垂直平分AD。
∴OG是△ABD的中位线，∴OG=BD=。