Question

（2013年四川泸州10分）如图，D为⊙O上一点，点C在直径BA的延长线上，且∠CDA=∠CBD．

（1）求证：CD²=CA•CB；
（2）求证：CD是⊙O的切线；
（3）过点B作⊙O的切线交CD的延长线于点E，若BC=12，tan∠CDA=，求BE的长．

Answer 1

解：（1）证明：∵∠CDA=∠CBD，∠C=∠C，
∴△ADC∽△DBC，
∴，即CD²=CA•CB。
（2）证明：如图，连接OD，

∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB=90°。∴∠1+∠3=90°。
∵OA=OD，∴∠2=∠3。∴∠1+∠2=90°。
又∵∠CDA=∠CBD，即∠4=∠1，
∴∠4+∠2=90°，即∠CDO=90°。∴OD⊥OA。
又∵OA是⊙O的半径，∴CD是⊙O的切线。
（3）如图，连接OE，
∵EB、CD均为⊙O的切线，∴ED=EB，OE⊥DB。
∴∠ABD+∠DBE=90°，∠OEB+∠DBE=90°。∴∠ABD=∠OEB。∴∠CDA=∠OEB。
∵tan∠CDA=，∴。
∵Rt△CDO∽Rt△CBE，∴。
∵BC=12，∴CD=8。
在Rt△CBE中，设BE=x，
∴（x+8）²=x²+12²，解得x=5。
∴BE的长为5。

（1）通过相似三角形（△ADC∽△DBC）的对应边成比例来证得结论。
（2）如图，连接OD．欲证明CD是⊙O的切线，只需证明CD⊥OA即可。
（3）通过相似三角形△EBC∽△ODC的对应边成比例列出关于BE的方程，通过解方程来求线段BE的长度即可。