题目内容
【题目】对于给定的两个函数
和
，我们把
叫做这个两个函数的积函数，把直线
和
叫做抛物线的母线．
（1）直接写出函数
和
的积函数；
（2）点
在(1)中的抛物线上，过点垂直于
轴的直线分别交此抛物线的母线于
两点（点不重合），设点的横坐标为
，求
时的值；
（3）已知函数
和
．
①当它们的积函数自变量的取值范围是
，且当
时，这个积函数的最大值是8，求
的值以及这个积函数的最小值；
②当它们的积函数自变量的取值范围是
时，直接写出这个积函数的图象在变化过程中最高点的纵坐标
与之间的函数关系式．
【答案】（1）
；（2）
或
；（3）①3，-7，②当
时，
；当
时，
；当时，；当
时， 
【解析】
（1）利用积函数的定义直接得出结论，最后令y=0，解方程即可求出与x轴的交点坐标；
（2）设出点P的坐标，进而表示出点M，N的坐标，即可求出PM，PN，最后用PM=PN建立方程求解即可得出结论；
（3）①先确定出积函数，利用此函数的增减性，判断出x=2时，y最大求出n，最后将x=-1代入抛物线解析式即可确定出最小值；
②分三种情况，自变量范围内的图象全在对称轴左侧，或右侧或对称轴介于自变量的分之内，最后用函数增减性，代入即可得出结论．
解：（1）∵函数
和
，
∵函数和的积函数为
.
（2）由（1）知，抛物线解析式为，设
，
∵函数和，
∴
，
∴
，
∵
∴
，
∴ （此时点
和
重合，舍去）或；
（3）①∵函数
和
，
∴函数为和积函数为
，
∵积函数自变量的取值范围是
，且当
时，这个积函数的最大值是8，
∴当
时，
，
∴
，
∴积函数的解析式为
，
当
时，
.
②由①知，积函数的解析式为
，
∴此积函数的对称轴为直线
，且对称轴左侧
随
的增大而增大，对称轴右侧随增大而减小，
∵积函数自变量的取值范围是
，
Ⅰ.当
时，即，
此时，当
时，最高点的纵坐标与
之间的函数关系式
Ⅱ.当
时，即，
此时，当时，最高点的纵坐标与之间的函数关系式
；
Ⅲ.当
时，即，
此时，当
时，最高点的纵坐标与之间的函数关系式
.
【题目】甲、乙人5场10次投篮命中次数如图
（1）填写表格．
平均数 | 众数 | 中位数 | 方差 | |
甲 | ______ | 8 | 8 | ______ |
乙 | 8 | ______ | ______ | 3.2 |
（2）①教练根据这5个成绩，选择甲参加投篮比赛，理由是什么？
②如果乙再投篮1场，命中8次，那么乙的投监成绩的方差将会怎样变化？（“变大”“变小”或”不变”）
