Question

【题目】综合与实践：折纸中的数学

问题情境：

在矩形中，＝12，点、分别是、的中点，点、分别在、上，且＝，将△沿折叠，点的对应点为点，将△沿折叠，点的对应点为点Q，且点、均落在矩形的内部（如图①）．

数学思考：

（1）判断与是否平行，并说明理由；

（2）当长度是多少时，存在点，使四边形是有一个内角为60°的菱形（如图②）？直接写出的长度及菱形的面积．

Answer 1

【答案】（1）平行，证明见解析；（2）AB= =6，菱形的面积=

【解析】

（1）延长NQ交AD的延长线于H．首先证明△EAM≌△FCN，进一步得出∠AMP=∠QNC，从而可证明∠AMP=∠AHN，由此得出结论；

（2）由折叠得到PM=6，由直角三角形的性质得AO、PO的长，再根据菱形的性质得PQ，MN的长，从而解决问题．

如图中，延长NQ交AD的延长线于H．

∵四边形ABCD是矩形，

∴AD=BC，AD∥BC，∠A=∠C=90°，

∵点M，N分别是AD，BC的中点，

∴AM=NC，

∴PM=NQ，

∵AE=CF，

∴△EAM≌△FCN（SAS），

∴∠AME=∠CNF，

∵∠AME=∠EMP，∠CNF=∠FNQ，

∴∠AMP=∠QNC，

∵AD∥BC，

∴∠AHN=∠CNH，

∴∠AMP=∠AHN，

∴PM∥NH，即PM//NQ；

(2) 连接MN、PQ相交于点O，如图，

∵四边形ABCD是矩形，AD=12，点M是AD的中点，

∴AM=6，

由折叠得，PM=AM=6，

∵四边形PNQM是菱形，且∠MPN=60°，

∴∠MPO=30°，MN⊥PQ

∴MO=3，PO=

∴AB=MN=2MO=6，PQ=2PO=6

∴菱形的面积=．