题目内容

如图1,梯形中,.一个动点从点出发,以每秒个单位长度的速度沿线段方向运动,过点,交折线段于点,以为边向右作正方形,点在射线上,当点到达点时,运动结束.设点的运动时间为秒().
(1)当正方形的边恰好经过点时,求运动时间的值;
(2)在整个运动过程中,设正方形与△的重合部分面积为,请直接写出之间的函数关系式和相应的自变量的取值范围;
(3)如图2,当点在线段上运动时,线段与对角线交于点,将△沿翻折,得到△,连接.是否存在这样的,使△是等腰三角形?若存在,求出对应的的值;若不存在,请说明理由.
(1)当t=4时,正方形PQMN的边MN恰好过点D
(2)
(3)当时,∆PEF是等腰三角形

试题分析:(1)作AG⊥BC,DH⊥BC,垂足分别为G、H,可以得出四边形AGHD为矩形,根据矩形的性质及相关条件可以得出△ABG≌△DCH,可以求出BG=CH的值,再由勾股定理就可以求出AG=DH的值,就可以求出BP的值,即可以求出结论t的值;
(2)运用求分段函数的方法,分四种情况,当0<t≤3,当3<t≤4,4<t≤7,7<t≤8时,运用梯形的面积公式和三角形的面积公式就可以求出S的值;
(3)先由条件可以求出EF=EQ=PQ-EP=4-t,分为三种情况:EF=EP时可以求出t值,当FE=FP时,作FR⊥EP,垂足为R,可以求出t值,当PE=PF时,作PS⊥EF,垂足为S,可以求出t值.
试题解析:(1)如图2,作AG⊥BC于G,DH⊥BC于H,则四边形AGHD是矩形。
∵梯形ABCD中,AB=AD=DC=5,
∴∆ABG≌∆DCH,
,
∴当正方形PQMN的边MN恰好过点D时,点M与点D重合,此时MQ=4,
,
∴当t=4时,正方形PQMN的边MN恰好过点D。
(2)

如图1,当0<t≤3时,BP=t,∵

如图3,当3<t≤4时,BP="t,"


如图4,当4<t≤7时,BP="t,"

如图5,当7<t≤8时,BP="t,"


(3)∵,


由(1)可知

如图6,当EF=EP时,

如图7,当FE=FP时,作FR⊥EP于R,∴


如图8,当PE=PF时,作PS⊥EF于S,∴


∴当时,∆PEF是等腰三角形。
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