题目内容
【题目】已知关于x的一元二次方程:x2﹣(m﹣3)x﹣m=0.
(1)试判断原方程根的情况;
(2)若抛物线y=x2﹣(m﹣3)x﹣m与x轴交于A(x1,0),B(x2,0)两点,则A,B两点间的距离是否存在最大或最小值?若存在,求出这个值;若不存在,请说明理由.
(友情提示:AB=|x2﹣x1|)
【答案】(1)原方程有两个不等实数根;(2)AB有最小值,即AB==2.
【解析】
试题分析:(1)根据根的判别式,可得答案;(2)根据根与系数的关系,可得A、B间的距离,根据二次函数的性质,可得答案.
试题解析:(1)△=[﹣(m﹣3)]2﹣4(﹣m)=m2﹣2m+9=(m﹣1)2+8,
∵(m﹣1)2≥0,
∴△=(m﹣1)2+8>0,
∴原方程有两个不等实数根;
(2)存在,
由题意知x1,x2是原方程的两根,
∴x1+x2=m﹣3,x1x2=﹣m.
∵AB=|x1﹣x2|,
∴AB2=(x1﹣x2)2=(x1+x2)2﹣4x1x2
=(m﹣3)2﹣4(﹣m)=(m﹣1)2+8,
∴当m=1时,AB2有最小值8,
∴AB有最小值,即AB==2.
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