Question

【题目】已知：二次函数满足下列条件：①抛物线y=ax2+bx与直线y=x只有一个交点；②对于任意实数x，a（-x+5）2+b（-x+5）=a（x-3）2+b（x-3）都成立．

（1）求二次函数y=ax2+bx的解析式；

（2）若当-2≤x≤r（r≠0）时，恰有t≤y≤1.5r成立，求t和r的值．

Answer 1

【答案】（1）y=x2+x；（2）t=-4，r=-1.

【解析】

（1）由①联立方程组，根据抛物线y=ax2+bx与直线y=x只有一个交点可以求出b的值，由②可得对称轴为x=1，从而得a的值，进而得出结论；

（2）进行分类讨论，分别求出t和r的值.

（1）y=ax2+bx和y=x联立得：ax2+(b+1)x=0，

Δ=0得：(b-1)2=0，得b=1，

∵对称轴为=1，

∴=1，

∴a=，

∴y=x2+x.

（2）因为y=x2+x=(x-1)2+,

所以顶点（1，）

当-2<r<1，且r≠0时，

当x=r时，y最大=r2+r=1.5r，得r=-1，

当x=-2时，y最小=-4，

所以，这时t=-4，r=-1.

当r≥1时，

y最大=，所以1.5r=，

所以r=，不合题意，舍去，

综上可得，t=-4，r=-1.