题目内容
【题目】在△ABC中，AB=AC，∠BAC=α，点P是△ABC内一点，且
．连接PB，试探究PA，PB，PC满足的等量关系．
图1 图2
（1）当α=60°时，将△ABP绕点A逆时针旋转60°得到
，连接
，如图1所示．
由
≌
可以证得
是等边三角形，再由
可得∠APC的大小为 度，进而得到
是直角三角形，这样可以得到PA，PB，PC满足的等量关系为 ；
（2）如图2，当α=120°时，请参考（1）中的方法，探究PA，PB，PC满足的等量关系，并给出证明；
（3）PA，PB，PC满足的等量关系为 ．
【答案】（1）150， 
（2）证明见解析（3）
【解析】试题分析：（1）根据旋转变换的性质得到△PAP′为等边三角形，得到∠P′PC＝90°，根据勾股定理解答即可；
（2）如图2，作将△ABP绕点A逆时针旋转120°得到△ACP′，连接PP′，作AD⊥PP′于D，根据余弦的定义得到PP′＝
PA，根据勾股定理解答即可；
（3）与（2）类似，根据旋转变换的性质、勾股定理和余弦、正弦的关系计算即可．
试题解析：
解：（1）∵△ABP≌△ACP′，
∴AP＝AP′，
由旋转变换的性质可知，∠PAP′＝60°，P′C＝PB，
∴△PAP′为等边三角形，
∴∠APP′＝60°，
∵∠PAC＋∠PCA＝
×60° ＝30°，
∴∠APC＝150°，
∴∠P′PC＝90°，
∴PP′2＋PC2＝P′C2，
∴PA2＋PC2＝PB2，
故答案为：150，PA2＋PC2＝PB2；
（2）如图，作
°，使
，连接
， 
．过点A作AD⊥
于D点．
∵
°，
即
，
∴
．
∵AB＝AC， 
，
∴
.
∴
， 
°．
∵AD⊥
，
∴
°.
∴在Rt 
中， 
.
∴
．
∵
°，
∴
°.
∴
°．
∴在Rt 
中， 
.
∴
；
（3）如图2，与（2）的方法类似，
作将△ABP绕点A逆时针旋转α得到△ACP′，连接PP′，
作AD⊥PP′于D，
由旋转变换的性质可知，∠PAP′＝α，P′C＝PB，
∴∠APP′＝90°－
，
∵∠PAC＋∠PCA＝
，
∴∠APC＝180°－
，
∴∠P′PC＝（180°－
）－（90°－
）＝90°，
∴PP′2＋PC2＝P′C2，
∵∠APP′＝90°－
，
∴PD＝PAcos（90°－
）＝PAsin
，
∴PP′＝2PAsin
，
∴4PA2sin2
＋PC2＝PB2，
故答案为：4PA2sin2
＋PC2＝PB2．
