题目内容
【题目】如图，抛物线y＝ax2+6x+c交x轴于A，B两点，交y轴于点C．直线y＝x﹣5经过点B，C．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若点N为抛物线上动点，当∠NBA＝∠OAC时，求点N的坐标，
（3）过点A的直线交直线BC于点M，当AM⊥BC时，过抛物线上一动点P（不与点B，C重合），作直线AM的平行线交直线BC于点Q，若以点A，M，Q，P为顶点的四边形是平行四边形，求点P的横坐标．
【答案】（1）y＝﹣x2+6x﹣5；（2）N的坐标为（﹣4，﹣45）；（3）点P的横坐标为4或
或
．
【解析】
（1）先求出C（0，﹣5），B（5，0），代入y＝ax2+6x+c得a、c的值，即可得出结果；
（2）求出A（1，0），得出OA＝1，OC＝5．过抛物线上任意一点N作NH⊥x轴于点H，连接AC、BN，由∠OAC是锐角，则N点的横坐标小于5，易证△NBH～△CAO，得出
，设N的坐标为（n，﹣n2+6n﹣5），则NH＝|﹣n2+6n﹣5|，BH＝|5﹣n|，得出
，求出n的值即可得出结果；
（3）证明△OCB和△AMB都为等腰直角三角形，则AM＝
AB＝
，由平行四边形的性质得出AM//PQ，PQ＝AM＝，推出PQ⊥BC，作PD⊥x轴交直线BC于D，由平行线的性质得出∠PDQ＝∠OCB＝45°，则△DPQ是等腰直角三角形，得出PD＝
PQ＝4，设P（m，﹣m2+6m﹣5），则D（m，m﹣5），当点P在直线BC上方时，PD＝﹣m2+5m＝4，解方程即可；当点P在直线BC下方时，PD＝m2﹣5m＝4，解方程即可得出结果．
解：（1）当x＝0时，y＝x﹣5＝﹣5，
则C（0，﹣5），
当y＝0时，x﹣5＝0，
解得：x＝5，
∴B（5，0），
把B（5，0），C（0，﹣5）代入y＝ax2+6x+c得：
，
解得： 
，
∴抛物线解析式为y＝﹣x2+6x﹣5；
（2）令﹣x2+6x﹣5＝0，解得：x1＝1，x2＝5，
∴A（1，0），
∵C（0，﹣5），
∴OA＝1，OC＝5．
过抛物线上任意一点N作NH⊥x轴于点H，连接AC、BN，如图1所示：
∵∠OAC是锐角，
∴N点的横坐标小于5，
∵∠NBA＝∠OAC，∠NHB＝90°＝∠AOC，
∴△NBH～△CAO，
∴，
设N的坐标为（n，﹣n2+6n﹣5），
则NH＝|﹣n2+6n﹣5|，BH＝|5﹣n|，
∴
，
∴
或
，
当时，
解得：n1＝5（舍去），n2＝6（舍去）．
当时，
解得：n1＝5（舍去），n2＝﹣4，
当n＝﹣4时，﹣n2+6n﹣5＝﹣45，
∴N为（﹣4，﹣45）．
综上所述，N的坐标为（﹣4，﹣45）；
（3）∵A（1，0），B（5，0），C（0，﹣5），
∴AB＝4，△OCB为等腰直角三角形，
∴∠OBC＝∠OCB＝45°，
∵AM⊥BC，
∴△AMB为等腰直角三角形，
∴AM＝AB＝×4＝，
∵以点A，M，Q，P为顶点的四边形是平行四边形，
∴AM//PQ，PQ＝AM＝，
∴PQ⊥BC，
作PD⊥x轴交直线BC于D，如图2所示：
则∠PDQ＝∠OCB＝45°，
∴△DPQ是等腰直角三角形，
∴PD＝PQ＝
，
设P（m，﹣m2+6m﹣5），则D（m，m﹣5），
当点P在直线BC上方时，PD＝﹣m2+6m﹣5﹣（m﹣5）＝﹣m2+5m＝4，
解得m1＝1（舍去），m2＝4，
当点P在直线BC下方时，PD＝m﹣5﹣（﹣m2+6m﹣5）＝m2﹣5m＝4，
解得：m1＝
，m2＝
，
综上所述，点P的横坐标为4或或．
