题目内容

如图,在四边形ABCD中,点E、F、G、H分别是各边的中点,则按要求完成下列题目.
(1)四边形EFGH是
平行四边
平行四边
形;
(2)四边形ABCD应满足什么条件时,四边形EFGH是菱形,并证明你的结论.
分析:(1)连接BD,再利用三角形中位线定理可得FG∥BD,FG=
1
2
BD,EH∥BD,EH=
1
2
BD.进而得到FG∥EH,且FG=EH,可根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形证出结论;
(2)菱形是邻边相等的平行四边形.由(1)知,四边形EFGH是平行四边形,所以只需四边形ABCD的对角线相等即可证得平行四边形EFGH是菱形.
解答:(1)解:如图,连接BD.
∵F,G分别是BC,CD的中点,
所以FG∥BD,FG=
1
2
BD.
∵E,H分别是AB,DA的中点.
∴EH∥BD,EH=
1
2
BD.
∴FG∥EH,且FG=EH.
∴四边形EFGH是平行四边形;
故填:平行四边;

(2)AC=BD.
理由如下:如图,连AC.
由(1)知,四边形EFGH是平行四边形,且FG=
1
2
BD,HG=
1
2
AC,
∴当AC=BD时,FG=HG,
∴平行四边形EFGH是菱形.
点评:此题主要考查了中点四边形,关键是掌握三角形中位线定理,三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半.
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