题目内容
【题目】同学们，在初一学习正多边形和圆这节课时，我们就学习过四边形的内角和等于360°．下面我们就在四边形中来研究几个问题：
(1)问题背景：
如图1：在四边形ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝120°，∠B＝∠ADC＝90°，E、F分别是BC、CD上的点，且∠EAF＝60°，探究图中线段BE、EF、FD之间的数量关系．
小王同学探究此问题的方法是，延长FD到点G，使DG＝BE．连结AG，先证明△ABE≌△ADG，再证明△AEF≌△AGF，可得出结论，他的结论应是______；
(2)探索延伸：
如图2，若在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠D＝180°，E、F分别是BC、CD上的点，且∠EAF＝
∠BAD，上述结论是否仍成立，并说明理由；
(3)实际应用：
如图3，在某次军事演习中，舰艇甲在指挥中心(点O处)北偏西30°的A处，舰艇乙在指挥中心南偏东70°的B处，并且两舰艇到指挥中心的距离相等．接到行动指令后，舰艇甲向正东方向以45海里/时的速度前进，同时，舰艇乙沿北偏西50°的方向以60海里/时的速度前进，2小时后，指挥中心观察到甲、乙两舰艇分别到达E、F处，且两舰艇之间的夹角为70°，试求此时两舰艇之间的距离．
【答案】(1)EF＝BE+DF；(2)结论EF＝BE+DF仍然成立；(3)此时两舰艇之间的距离是210海里．
【解析】
(1)延长FD到点G.使DG=BE.连结AG,即可证明△ABE≌△ADG,可得AE=AG,再证明△AEF≌△AGF,可得EF=FG,即可解题;
(2)延长FD到点G.使DG=BE.连结AG,即可证明△ABE≌△ADG,可得AE=AG,再证明△AEF≌△AGF,可得EF=FG,即可解题
(3)连接EF,延长AE、BF相交于点C,然后与(2)同理可证.
解：(1)EF＝BE+DF，证明如下：
在△ABE和△ADG中，
，
∴△ABE≌△ADG(SAS)，
∴AE＝AG，∠BAE＝∠DAG，
∵∠EAF＝
∠BAD，
∴∠GAF＝∠DAG+∠DAF＝∠BAE+∠DAF＝∠BAD﹣∠EAF＝∠EAF，
∴∠EAF＝∠GAF，
在△AEF和△GAF中，
，
∴△AEF≌△AGF(SAS)，
∴EF＝FG，
∵FG＝DG+DF＝BE+DF，
∴EF＝BE+DF；
故答案为 EF＝BE+DF．
(2)结论EF＝BE+DF仍然成立；
理由：延长FD到点G．使DG＝BE．连结AG，如图2，
在△ABE和△ADG中，，
∴△ABE≌△ADG(SAS)，
∴AE＝AG，∠BAE＝∠DAG，
∵∠EAF＝∠BAD，
∴∠GAF＝∠DAG+∠DAF＝∠BAE+∠DAF＝∠BAD﹣∠EAF＝∠EAF，
∴∠EAF＝∠GAF，
在△AEF和△GAF中，
，
∴△AEF≌△AGF(SAS)，
∴EF＝FG，
∵FG＝DG+DF＝BE+DF，
∴EF＝BE+DF；
(3)如图3，连接EF，延长AE、BF相交于点C，
∵∠AOB＝30°+90°+(90°﹣70°)＝140°，∠EOF＝70°，
∴∠EOF＝∠AOB，
又∵OA＝OB，∠OAC+∠OBC＝(90°﹣30°)+(70°+50°)＝180°，
∴符合探索延伸中的条件，
∴结论EF＝AE+BF成立，
即EF＝2×(45+60)＝210(海里)．
答：此时两舰艇之间的距离是210海里．
