题目内容
【题目】在平面直角坐标系中，边长为1的正方形
的两个顶点
，
分别在
轴、
轴的正半轴上，点
是原点．现在将正方形绕原点顺时针旋转，当点第一次落在直线
上时停止．旋转过程中，
边交直线于点
，
边交轴于点
．
（1）若点
，求此时点的坐标及
的值；
（2）若
的周长是
，在旋转过程中，值是否会发生变化？若不变，请求出这个定值，若有变化，请说明理由；
（3）设
，当
为何值时
的面积最小，最小值是多少？并直接写出此时内切圆半径．
【答案】(1) b=
,C（，-
）;(2) p值无变化, 2;(3) 3-2
.
【解析】
（1）根据
，正方形
的边长为1，利用勾股定理求出b，过AD⊥x轴，CF⊥x轴，证明△ADO≌△OFC，得到OF=AD=，FC=DO=故可求解；
（2）延长BA交y轴于E点，可以证明：△OAE≌△OCN，△OME≌△OMN证得：OE＝ON，AE＝CN，MN＝ME＝AM＋AE＝AM＋CN．从而求得：P＝MN＋BN＋BM＝AM＋CN＋BN＋BM＝AB＋BC＝2．即可求解．
（3）Rt△BMN中，BM2＋BN2＝MN2，所以（1n）2＋（1m＋n）2＝m2m2mn＋2m＝0．把这个方程看作关于n的方程，根据一元二次方程有解的条件，即可求得．
（1）∵，正方形的边长为1
∴
解得b=（负值舍去），
∴
过AD⊥x轴，CF⊥x轴，
∵∠AOC＝90°
∴∠AOD+∠COF＝90°
又∠AOD+∠OAD＝90°
∴∠OAD=∠COF
又∠ADO=∠OFC＝90°，AO=OC
∴△ADO≌△OFC
∴OF=AD=，FC=DO=
∴C（，-）；
（2）p值无变化
证明：延长BA交y轴于E点，
∵
，
∴
在△OAE与△OCN中，
∴△OAE≌△OCN（AAS）
∴OE＝ON，AE＝CN
在△OME与△OMN中，
∴△OME≌△OMN（SAS）
∴MN＝ME＝AM＋AE＝AM＋CN
∴P＝MN＋BN＋BM＝AM＋CN＋BN＋BM＝AB＋BC＝2；
（3）设AM＝n，则BM＝1n，CN＝mn，BN＝1m＋n，
∵△OME≌△OMN，
∴S△MON＝S△MOE＝OA×EM＝m
在Rt△BMN中，BM2＋BN2＝MN2
∴（1n）2＋（1m＋n）2＝m2
故n2mn＋1m＝0，把方程看作关于n的一元二次方程，方程有解,
∴△＝m24（1m）≥0，解得m≥22或m≤22，
∴当m＝22时，△OMN的面积最小，为1．
把m＝22代入n2mn＋1m＝0
解得n＝1，
则BM＝1n＝2，BN＝1m＋n＝2，
∴Rt△BMN的内切圆半径为
＝32．
【题目】随着地铁和共享单车的发展，“地铁＋单车”已成为很多市民出行的选择．李华从文化宫站出发，先乘坐地铁，准备在离家较近的A，B，C，D，E中的某一站出地铁，再骑共享单车回家．设他出地铁的站点与文化宫站的距离为
(单位：km)，乘坐地铁的时间
(单位：min)是关于的一次函数，其关系如下表：
地铁站 | A | B | C | D | E |
x/km | 7 | 9 | 11 | 12 | 13 |
y1/min | 16 | 20 | 24 | 26 | 28 |
(1)求关于的函数解析式；
(2)李华骑单车的时间
(单位：min)也受的影响，其关系可以用=
2-11＋78来描述．求李华应选择在哪一站出地铁，才能使他从文化宫站回到家所需的时间最短，并求出最时间．
