Question

如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC与BD交于点O，且AC=80，BD=60．动点M、N分别以每秒1个单位的速度从点A、D同时出发，分别沿A→O→D和D→A运动，当点N到达点A时，M、N同时停止运动．设运动时间为t秒．

（1）求菱形ABCD的周长；
（2）记△DMN的面积为S，求S关于t的解析式，并求S的最大值；
（3）当t=30秒时，在线段OD的垂直平分线上是否存在点P，使得∠DPO=∠DON？若存在，这样的点P有几个？并求出点P到线段OD的距离；若不存在，请说明理由．

Answer 1

解：（1）在菱形ABCD中，
∵AC⊥BD，AC=80，BD=60，∴。
∴菱形ABCD的周长为200。
（2）过点M作MP⊥AD，垂足为点P．
①当0＜t≤40时，如答图1，

∵，
∴MP=AM•sin∠OAD=t。
S=DN•MP=×t×t=t²。
②当40＜t≤50时，如答图2，MD=70﹣t，

∵，
∴MP=（70﹣t）。
∴S_△DMN=DN•MP=×t×（70﹣t）=t²+28t=（t﹣35）²+490。
∴S关于t的解析式为。
当0＜t≤40时，S随t的增大而增大，当t=40时，最大值为480；
当40＜t≤50时，S随t的增大而减小，最大值不超过480。
综上所述，S的最大值为480。
（3）存在2个点P，使得∠DPO=∠DON。
如答图3所示，过点N作NF⊥OD于点F，

则NF=ND•sin∠ODA=30×=24，
DF=ND•cos∠ODA=30×=18。
∴OF=12。∴。
作∠NOD的平分线交NF于点G，过点G作GH⊥ON于点H，
则FG=GH。
∴S_△ONF=OF•NF=S_△OGF+S_△OGN=OF•FG+ON•GH=（OF+ON）•FG。
∴。
∴。
设OD中垂线与OD的交点为K，由对称性可知：∠DPK=∠DPO=∠DON=∠FOG，
∴。
∴PK=。
根据菱形的对称性可知，在线段OD的下方存在与点P关于OD轴对称的点P′。
∴存在两个点P到OD的距离都是

解析试题分析：（1）根据勾股定理及菱形的性质，求出菱形的周长。
（2）在动点M、N运动过程中：①当0＜t≤40时，如答图1所示，②当40＜t≤50时，如答图2所示．分别求出S的关系式，然后利用二次函数的性质求出最大值。
（3）如答图3所示，在Rt△PKD中，DK长可求出，则只有求出tan∠DPK即可，为此，在△ODM中，作辅助线，构造Rt△OND，作∠NOD平分线OG，则∠GOF=∠DPK。在Rt△OGF中，求出tan∠GOF的值，从而问题解决。
另解：答图4所示，作ON的垂直平分线，交OD的垂直平分线EF于点I，连接结OI，IN，过点N作NG⊥OD，NH⊥EF，垂足分别为G，H。

当t=30时，DN=OD=30，易知△DNG∽△DAO，
∴，即。
∴NG=24，DG=18。
∵EF垂直平分OD，∴OE=ED=15，EG=NH=3。
设OI=R，EI=x，则
在Rt△OEI中，有R²=15²+x²       ①
在Rt△NIH中，有R²=3²+（24﹣x）²    ②
由①、②可得：。
∴PE=PI+IE=。
根据对称性可得，在BD下方还存在一个点P′也满足条件。
∴存在两个点P，到OD的距离都是。