题目内容

如图,四边形ABCD是菱形,对角线AC与BD交于点O,且AC=80,BD=60.动点M、N分别以每秒1个单位的速度从点A、D同时出发,分别沿A→O→D和D→A运动,当点N到达点A时,M、N同时停止运动.设运动时间为t秒.

(1)求菱形ABCD的周长;
(2)记△DMN的面积为S,求S关于t的解析式,并求S的最大值;
(3)当t=30秒时,在线段OD的垂直平分线上是否存在点P,使得∠DPO=∠DON?若存在,这样的点P有几个?并求出点P到线段OD的距离;若不存在,请说明理由.

解:(1)在菱形ABCD中,
∵AC⊥BD,AC=80,BD=60,∴
∴菱形ABCD的周长为200。
(2)过点M作MP⊥AD,垂足为点P.
①当0<t≤40时,如答图1,


∴MP=AM•sin∠OAD=t。
S=DN•MP=×t×t=t2
②当40<t≤50时,如答图2,MD=70﹣t,


∴MP=(70﹣t)。
∴SDMN=DN•MP=×t×(70﹣t)=t2+28t=(t﹣35)2+490。
∴S关于t的解析式为
当0<t≤40时,S随t的增大而增大,当t=40时,最大值为480;
当40<t≤50时,S随t的增大而减小,最大值不超过480。
综上所述,S的最大值为480。
(3)存在2个点P,使得∠DPO=∠DON。
如答图3所示,过点N作NF⊥OD于点F,

则NF=ND•sin∠ODA=30×=24,
DF=ND•cos∠ODA=30×=18。
∴OF=12。∴
作∠NOD的平分线交NF于点G,过点G作GH⊥ON于点H,
则FG=GH。
∴SONF=OF•NF=SOGF+SOGN=OF•FG+ON•GH=(OF+ON)•FG。


设OD中垂线与OD的交点为K,由对称性可知:∠DPK=∠DPO=∠DON=∠FOG,

∴PK=
根据菱形的对称性可知,在线段OD的下方存在与点P关于OD轴对称的点P′。
∴存在两个点P到OD的距离都是

解析试题分析:(1)根据勾股定理及菱形的性质,求出菱形的周长。
(2)在动点M、N运动过程中:①当0<t≤40时,如答图1所示,②当40<t≤50时,如答图2所示.分别求出S的关系式,然后利用二次函数的性质求出最大值。
(3)如答图3所示,在Rt△PKD中,DK长可求出,则只有求出tan∠DPK即可,为此,在△ODM中,作辅助线,构造Rt△OND,作∠NOD平分线OG,则∠GOF=∠DPK。在Rt△OGF中,求出tan∠GOF的值,从而问题解决。
另解:答图4所示,作ON的垂直平分线,交OD的垂直平分线EF于点I,连接结OI,IN,过点N作NG⊥OD,NH⊥EF,垂足分别为G,H。

当t=30时,DN=OD=30,易知△DNG∽△DAO,
,即
∴NG=24,DG=18。
∵EF垂直平分OD,∴OE=ED=15,EG=NH=3。
设OI=R,EI=x,则
在Rt△OEI中,有R2=152+x2       ①
在Rt△NIH中,有R2=32+(24﹣x)2    ②
由①、②可得:
∴PE=PI+IE=
根据对称性可得,在BD下方还存在一个点P′也满足条件。
∴存在两个点P,到OD的距离都是

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