Question

【题目】如图，已知∠PBC，在射线BC上任取一点D，以线段BD的中点O为圆心作⊙O，且⊙O与PB相切于点E．

(1)求作：射线BP上一点A，使△ABD为等腰三角形，且AB=AD．（要求：运用直尺和圆规，保留作图痕迹，不写作法）

(2)求证：AD是⊙O的切线．

(3)若BD的长为8cm，∠PBC=30°，求阴影部分的面积

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）-．

【解析】

（1）根据等腰三角形的性质，利用尺规作图作出图象即可；

（2）过点O作OF⊥AD，垂足为F，连接OE，根据△ABD为等腰三角形，点O是底边BD的中点，可得出AO是∠BAD的角平分线，可得OE=OF，即可得证；

（3）根据已知条件可推出∠EOB=60°，BE==，再根据S阴影=S△BOE-S扇形EOM即可得解．

（1）作图如下，

（2）证明：如图，过点O作OF⊥AD，垂足为F，连接OE，

∵⊙O与PB相切于点E，

∴OE⊥AB，

∵△ABD为等腰三角形，点O是底边BD的中点，

∴AO是∠BAD的角平分线，

∴OE=OF，即OF是⊙O的半径，

∴AC与⊙O相切；

（3）解：由（2）知，∠BEO=90°，

∵∠PBC=30°，

∴∠EOB=60°，

∵BD的长为8cm且点O是底边BD的中点，

∴OB=OD=BD=×8=4cm，

∴OE=OB=2cm，

在Rt△BOE中，根据勾股定理得BE==，

∴S阴影=S△BOE-S扇形EOM=××2-=-．