Question

【题目】如图，在△ABC中，AB=AC=10，点D是边BC上一动点(不与B，C重合)，∠ADE=∠B=α，DE交AC于点E，且cosα=．下列结论：①△ADE∽△ACD；②当BD=6时，△ABD与△DCE全等；③△DCE为直角三角形时，BD为8；④0<CE≤6.4．其中正确的结论是________．（把你认为正确结论的序号都填上）

Answer 1

【答案】①②④

【解析】

作AH⊥BC于H，如图，根据等腰三角形的性质易得∠B=∠ADE=∠C，于是可判断△ADE∽△ACD；在Rt△ABH中，利用三角函数的定义可计算出BH=8，则BC=2BH=16，所以当BD=6，则CD=10=AB，再证明∠EDC=∠BAD，则可判断△ABD≌△DCE；先证明△ABD∽△DCE，分类讨论：当∠DEC=90°，则∠ADB=90°，可得BD为8；当∠EDC=90°，则∠BAD=90°，根据三角函数定义可得BD=；设BD=x，则CD=16-x，由△ABD∽△DCE，利用相似比可得CE=-，然后根据二次函数的性质可得CE的最大值为6.4，于是有0＜CE≤6.4．

解：作AH⊥BC于H，如图，

∵AB=AC，

∴∠B=∠C=α，BH=CH，

而∠ADE=∠B=α，

∴∠ADE=∠C，

而∠DAE=∠CAD，

∴△ADE∽△ACD，所以①正确；

在Rt△ABH中，cosB=，

∴BH=10×=8，

∴BC=2BH=16，

当BD=6，则CD=10，

∵∠ADC=∠B+∠BAD，

而∠ADE=∠B=α，

∴∠EDC=∠BAD，

在△ABD与△DCE中

，

∴△ABD≌△DCE，所以②正确；

∵∠B=∠C，∠BAD=∠CDE，

∴△ABD∽△DCE，

△DCE为直角三角形，当∠DEC=90°，则∠ADB=90°，BD为8；

当∠EDC=90°，则∠BAD=90°，BD=，所以③错误；

设BD=x，则CD=16-x，

由△ABD∽△DCE得，即，

∴CE=-，

∴CE的最大值为6．4，

∴0＜CE≤6．4，所以④正确．

故答案为：①②④．