题目内容
如图①,矩形ABCD的两条边在坐标轴上,点D与原点重合,对角线BD所在直线与y轴的夹角为60°,AB=8.矩形ABCD沿DB方向以每秒1个单位长度运动,同时点P从点A出发沿矩形ABCD的边以每秒1个单位长度做匀速运动,经过点B到达点C,设运动时间为t.(1)求出矩形ABCD的边长BC;
(2)如图②,图形运动到第6秒时,求点P的坐标;
(3)当点P在线段BC上运动时,过点P作x轴,y轴的垂线,垂足分别为E,F,则矩形PEOF是否能与矩形ABCD相似?若能,求出t的值;若不能,说明理由.
分析:(1)在Rt△DBC中,由于∠BDC=60°,CD=AB=8,利用三角函数知识即可求出BC的长度;
(2)当图形运动到第6秒时,此时点P在AB上,由此得到OD=6,AP=6,由∠BDC=60°得到∠BDA=30°,平移过程中∠BDA保持不变,所以利用三角函数的定义可以求出D点坐标,接着可以求出A的坐标,也就求出P的坐标;
(3)当点P在BC边运动时,即8≤t≤8+8
,已知条件可以求出点D和C的坐标,接着求出P的坐标,再用t分别表示PE、PF,最后根据矩形相似的对应边成比例即可求出t的值.
(2)当图形运动到第6秒时,此时点P在AB上,由此得到OD=6,AP=6,由∠BDC=60°得到∠BDA=30°,平移过程中∠BDA保持不变,所以利用三角函数的定义可以求出D点坐标,接着可以求出A的坐标,也就求出P的坐标;
(3)当点P在BC边运动时,即8≤t≤8+8
3 |
解答:解:(1)在Rt△DBC中,∵∠BDC=60°,CD=AB=8
∴BC=CD•tan60°=8
;
(2)当图形运动到第6秒时,
此时点P在AB上,OD=6,AP=6,
而∠BDA=30°,
∴D点坐标为(3
,3),
∴点A坐标为(11
,3),
∴点P的坐标为(11
,9);
(3)当点P在BC边运动时,即8≤t≤8+8
,
而DO=t,∠BOA=30°,
∴点D的坐标为(
t,
t),点C的坐标为(
t,
t+8)
∴点P的坐标为(8+8
-t+
t,
t+8),
即PF=8+8
-t+
t,PE=
t+8,
若矩形PEOF与矩形ABCD相似,
①若
=
,
∴
=
,
解得t=8,
②若
=
,
则
=
,
解得t=
.
因为t=
>8+8
,此时点P不在BC边上,舍去.
因此当t=8时,点P到达点B,矩形PEOF与矩形BADC相似.
∴BC=CD•tan60°=8
3 |
(2)当图形运动到第6秒时,
此时点P在AB上,OD=6,AP=6,
而∠BDA=30°,
∴D点坐标为(3
3 |
∴点A坐标为(11
3 |
∴点P的坐标为(11
3 |
(3)当点P在BC边运动时,即8≤t≤8+8
3 |
而DO=t,∠BOA=30°,
∴点D的坐标为(
| ||
2 |
1 |
2 |
| ||
2 |
1 |
2 |
∴点P的坐标为(8+8
3 |
| ||
2 |
1 |
2 |
即PF=8+8
3 |
| ||
2 |
1 |
2 |
若矩形PEOF与矩形ABCD相似,
①若
PE |
OE |
BA |
DA |
∴
| ||||||
8+8
|
8 | ||
8
|
解得t=8,
②若
PE |
OE |
DA |
BA |
则
| ||||||
8+8
|
8
| ||
8 |
解得t=
16+8
| ||
|
因为t=
16+8
| ||
|
3 |
因此当t=8时,点P到达点B,矩形PEOF与矩形BADC相似.
点评:此题比较复杂,综合性比较强,把一次函数、平移、矩形及四边形相似、三角函数等多个知识结合在一起,解题一定要循序渐进,不急于求成,不过计算过程也比较多,对于学生的各方面的要求比较高.
练习册系列答案
相关题目
如图,在矩形ABCD中,连接AC,如果O为△ABC的内心,过O作OE⊥AD于E,作OF⊥CD于F,则矩形OFDE的面积与矩形ABCD的面积的比值为( )
A、
| ||
B、
| ||
C、
| ||
D、不能确定 |