题目内容
如果过等腰三角形的一个顶点的直线将这个等腰三角形分成两个等腰三角形,那么这个等腰三角形的顶角的度数为 度.
考点:等腰三角形的性质
专题:
分析:本题要利用三角形内角和定理求解.由于本题中经过等腰三角形顶点的直线没有明确是经过顶角的顶点还是底角的顶点,因此本题要分情况讨论.
解答:解:设该等腰三角形的底角是x;
①当过顶角的顶点的直线把它分成了两个等腰三角形,则AC=BC,AD=CD=BD,
设∠A=x°,
则∠ACD=∠A=x°,∠B=∠A=x°,
∴∠BCD=∠B=x°,
∵∠A+∠ACB+∠B=180°,
∴x+x+x+x=180,
解得x=45,
则顶角是90°;
②如图,AC=BC=BD,AD=CD,
设∠B=x°,
∵AC=BC,
∴∠A=∠B=x°,
∵AD=CD,
∴∠ACD=∠A=x°,
∴∠BDC=∠A+∠ACD=2x°,
∵BC=BD,
∴∠BCD=∠BDC=2x°,
∴∠ACB=3x°,
∴x+x+3x=180,x=36°,则顶角是108°.
③当过底角的角平分线把它分成了两个等腰三角形,则有AC=BC,AB=AD=CD,
设∠C=x°,
∵AD=CD,
∴∠CAD=∠C=x°,
∴∠ADB=∠CAD+∠C=2x°,
∵AD=AB,
∴∠B=∠ADB=2x°,
∵AC=BC,
∴∠CAB=∠B=2x°,
∵∠CAB+∠B+∠C=180°,
∴x+2x+2x=180,
x=36°,
则顶角是36°.
④当∠A=x°,∠ABC=∠ACB=3x°时,也符合,如图
AD=BD,BC=DC,
∠A=∠ABD=x,∠DBC=∠BDC=2x,
则x+3x+3x=180°,
x=
,
因此等腰三角形顶角的度数为36°或90°或108°或
.
故答案为:36°或90°或108°或
.
①当过顶角的顶点的直线把它分成了两个等腰三角形,则AC=BC,AD=CD=BD,
设∠A=x°,
则∠ACD=∠A=x°,∠B=∠A=x°,
∴∠BCD=∠B=x°,
∵∠A+∠ACB+∠B=180°,
∴x+x+x+x=180,
解得x=45,
则顶角是90°;
②如图,AC=BC=BD,AD=CD,
设∠B=x°,
∵AC=BC,
∴∠A=∠B=x°,
∵AD=CD,
∴∠ACD=∠A=x°,
∴∠BDC=∠A+∠ACD=2x°,
∵BC=BD,
∴∠BCD=∠BDC=2x°,
∴∠ACB=3x°,
∴x+x+3x=180,x=36°,则顶角是108°.
③当过底角的角平分线把它分成了两个等腰三角形,则有AC=BC,AB=AD=CD,
设∠C=x°,
∵AD=CD,
∴∠CAD=∠C=x°,
∴∠ADB=∠CAD+∠C=2x°,
∵AD=AB,
∴∠B=∠ADB=2x°,
∵AC=BC,
∴∠CAB=∠B=2x°,
∵∠CAB+∠B+∠C=180°,
∴x+2x+2x=180,
x=36°,
则顶角是36°.
④当∠A=x°,∠ABC=∠ACB=3x°时,也符合,如图
AD=BD,BC=DC,
∠A=∠ABD=x,∠DBC=∠BDC=2x,
则x+3x+3x=180°,
x=
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因此等腰三角形顶角的度数为36°或90°或108°或
180° |
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故答案为:36°或90°或108°或
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点评:本题考查了等腰三角形的性质及其判定.作此题的时候,首先大致画出符合条件的图形,然后根据等腰三角形的性质、三角形的内角和定理及其推论找到角之间的关系,列方程求解.
练习册系列答案
相关题目
下列说法:
①三组角分别相等的两个三角形全等;
②到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上;
③线段垂直平分线上任意一点到这条线段两个端点的距离相等;
④三角形的外角等于它的两个内角的和.
其中正确的结论的个数为( )
①三组角分别相等的两个三角形全等;
②到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上;
③线段垂直平分线上任意一点到这条线段两个端点的距离相等;
④三角形的外角等于它的两个内角的和.
其中正确的结论的个数为( )
A、1个 | B、2个 | C、3个 | D、4个 |
观察下列标志,不是中心对称图形的是( )
A、 |
B、 |
C、 |
D、 |