题目内容
【题目】如图，四边形ABCD是矩形，
，
，点P是对角线AC上的动点
不与点A，C重合
，连接PD，作
交射线BC于点E，以线段PD，PE为邻边作矩形PEFD．
线段PD的最小值为______；
求证：
，并求矩形PEFD面积的最小值；
是否存在这样的点P，使得
是等腰三角形？若存在，请求出PE的长；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）
；（2）证明见解析；（3） PE的长为
或
．
【解析】
如图1中，根据垂线段最短可知，当
时，DP的值最小
利用面积法即可解决问题；
如图2中，连接DE、PF交于点O，连接FC，
首先证明D、P、E、C、F五点共圆，由
∽
，推出
，即可解决问题；
分两种情形：点E在线段BC上，点E在线段BC的延长线上，分别求解即可解决问题；
解：如图1中，根据垂线段最短可知，当
时，DP的值最小．
在
中，
，
，
，
，
．
故答案为．
证明：如图2中，连接DE、PF交于点O，连接FC，OC．
四边形DPEF是矩形，
，
，
，
，
、P、E、C、F五点共圆，
是直径，
，
，
，
，
，
，
，
，
∽
，
，
，
．
∴S矩形PEFD=PE·PD=
PD2.
∵PD的最小值是，
∴矩形PEFD面积的最小值是=×()2=.
解：如图3中，设AC交DE于H．
当
时，易证
≌
，
，
，
，
，
，
，
．
如图4中，
当
时，
，
，
在CD上取一点H，速度
，则
，设
，则
，
，
，
，
，
，
，
综上所述，PE的长为或．
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