Question

（1）探索归纳．用等号或不等号填空：
①5+6______2

5×6

②12+13______2

12×13

③5+0______2

5×0

④7+7______2

7×7

…
用非负数a、b表示你发现的规律并予以证明．
（2）结论应用．已知点A（-3，0），B（0，-4），P是双曲线y=

12

x

(x＞0)上任意一点，过点P作PC⊥x轴于C，过点p作PD⊥y轴于D，连接AB、BC、CD、DA．
求四边形ABCD的面积的最小值，并说明此时四边形ABCD的形状．

Answer 1

（1）①∵5+6=11，2

5×6

=

120

，120＜121，
∴11＞2

5×6

；
②∵12+13=25，2

12×13

=

624

＜

625

=25，
∴12+13＞2

12×13

；
③∵5+0=5，2

5×0

=0，
∴5+0＞2

5×0

；
④∵7+7=14，2

7×7

=14，
∴7+7=2

7×7

．
综上所述，若a、b为非负数，则a+b≥2

ab

．
证明：∵（

a

-

b

）²≥0，
∴a-2

ab

+b≥0，
∴a+b≥2

ab

，只有点a=b时，等号成立．
故答案为：＞；＞；＞；=；

（2）∵设P（x，

12

x

），则C（x，0），D（0，

12

x

），CA=x+3，DB=+4，
∴S_{四边形ABCD}=

1

2

CA×DB=

1

2

（x+3）×（

12

x

+4），
化简得：S=2（x+

9

x

）+12，
∵x＞0，

9

x

＞0，
∴x+

9

x

≥2

x× 9 x

=6，
只有当x=

9

x

，即x=3时，等号成立．
∴S≥2×6+12=24，
∴S_{四边形ABCD}有最小值24，
此时，P（3，4），C（3，0），D（0，4），AB=BC=CD=DA=5，
∴四边形ABCD是菱形．