Question

【题目】如图①所示，已知正方形ABCD和正方形AEFG，连接DG，BE．

（1）发现：当正方形AEFG绕点A旋转，如图②所示．

①线段DG与BE之间的数量关系是　 　；

②直线DG与直线BE之间的位置关系是　 　；

（2）探究：如图③所示，若四边形ABCD与四边形AEFG都为矩形，且AD＝2AB，AG＝2AE时，上述结论是否成立，并说明理由．

（3）应用：在（2）的情况下，连接BG、DE，若AE＝1，AB＝2，求BG2+DE2的值（直接写出结果）．

Answer 1

【答案】（1）①BE＝DG，②BE⊥DG；（2）数量关系不成立，DG＝2BE，位置关系成立．理由见解析；（3）BG2+DE2＝25．

【解析】

（1）先判断出△ABE≌△DAG，进而得出BE=DG，∠ABE=∠ADG，再利用等角的余角相等即可得出结论；

（2）先利用两边对应成比例夹角相等判断出△ABE∽△DAG，得出∠ABE=∠ADG，再利用等角的余角相等即可得出结论；

（3）如图④中，作ET⊥AD于T，GH⊥BA交BA的延长线于H．设ET=x，AT=y．利用勾股定理，以及相似三角形的性质即可解决问题．

（1）①如图②中，

∵四边形ABCD和四边形AEFG是正方形，

∴AE＝AG，AB＝AD，∠BAD＝∠EAG＝90°，

∴∠BAE＝∠DAG，

在△ABE和△DAG中，

，

∴△ABE≌△DAG（SAS），

∴BE＝DG；

②如图2，延长BE交AD于T，交DG于H．

由①知，△ABE≌△DAG，

∴∠ABE＝∠ADG，

∵∠ATB+∠ABE＝90°，

∴∠ATB+∠ADG＝90°，

∵∠ATB＝∠DTH，

∴∠DTH+∠ADG＝90°，

∴∠DHB＝90°，

∴BE⊥DG，

故答案为：BE＝DG，BE⊥DG；

（2）数量关系不成立，DG＝2BE，位置关系成立．

如图③中，延长BE交AD于T，交DG于H．

∵四边形ABCD与四边形AEFG都为矩形，

∴∠BAD＝∠DAG，

∴∠BAE＝∠DAG，

∵AD＝2AB，AG＝2AE，

∴＝＝，

∴△ABE∽△ADG，

∴∠ABE＝∠ADG，＝，

∴DG＝2BE，

∵∠ATB+∠ABE＝90°，

∴∠ATB+∠ADG＝90°，

∵∠ATB＝∠DTH，

∴∠DTH+∠ADG＝90°，

∴∠DHB＝90°，

∴BE⊥DG；

（3）如图④中，作ET⊥AD于T，GH⊥BA交BA的延长线于H．设ET＝x，AT＝y．

∵∠GAH+∠DAG=90°，∠BAE+∠DAG=90°，

∴∠GAH=∠BAE，

又∵∠GHA=∠ATE=90°，

∴△AHG∽△ATE，

∴＝2，

∴GH＝2x，AH＝2y，

∴4x2+4y2＝4，

∴x2+y2＝1，

∴BG2+DE2＝（2x）2+（2y+2）2+x2+（4﹣y）2＝5x2+5y2+20＝25．